(原題為浙江名校新高考研究聯盟2018屆第三次聯考選擇壓軸題)

在平面$\alpha$內，已知$AB\perp BC$,過直線$AB,BC$分別作平面$\beta,\gamma$，使得銳二面角$\alpha-AB-\beta$為$\dfrac{\pi}{3}$，銳二面角$\alpha-BC-\gamma$為$\dfrac{\pi}{3}$，則平面$\beta$和平面$\gamma$所成的銳二面角的余弦值為____

提示:如圖註意到以下結論：(三面角的第二余弦定理)$\cos D=-\cos A\cos C+\sin A\sin C\cos \angle CBA$

其中$A,C,D$分別表示二面角$D-BA-C,D-BC-A,A-BD-C$所表示的二面角的平面角

此題中$\alpha-AB-\beta=C-AB-D；\alpha-BC-\gamma=A-BC-D$代入數值得$\cos D=-\cos\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{1}{4}$

由於所求為銳二面角，故答案為$\dfrac{1}{4}$.

註:三面角的正弦定理如圖為:$\dfrac{\sin D}{\sin\angle CBA}=\dfrac{\sin C}{\sin\angle DBA}=\dfrac{\sin A}{\sin\angle CBD}$

MT【193】三面角的正余弦定理