2018 年“三盟科技杯”中國大學生程序設計競賽（湖南）

A. Easy h-index

題目描述：給出一個數組\(a_i\)，求最大的\(h\)，使得至少有\(h\)個數不少於\(h\)。

solution
模擬。

時間復雜度：\(O(nlogn)\)

B. Higher h-index

題目描述：寫論文，當一份論文花費了\(x\)小時時，這份論文會得到\(ax\)個引用，\(a\)是給定的常數，\(x\)必須為正整數，每份論文都可以被之後自己寫的論文引用，現在有\(n\)個小時寫論文，求最大的\(h\)，使得至少有\(h\)份論文得到的引用個數不少於\(h\)。

solution
當\(n \leq a\)

時間復雜度：\(O(1)\)

C. Just h-index

題目描述：給出一個數組\(a_i\)，每次詢問一個區間\([L, R]\)，求最大的\(h\)，使得\([L, R]\)內至少有\(h\)個數不少於\(h\)。

solution
可持久化線段樹。

時間復雜度：\(O(qlogn+nlogn)\)

F. Sorting

題目描述：給定\(n\)個三元組\((a_i, b_i, c_i)\)，求一個字典序最小的排列\(p_i\)，使得
\[\frac{a_{p_{i-1}}+b_{p_{i-1}}}{a_{p_{i-1}}+b_{p_{i-1}}+c_{p_{i-1}}}\leq\frac{a_{p_i}+b_{p_i}}{a_{p_i}+b_{p_i}+c_{p_i}}\]

solution
按題目要求排序。
時間復雜度：\(O(nlogn)\)

G. String Transformation

題目描述：給定兩個字符串\(S, T\)，\(S, T\)由‘a, b, c‘組成，可以對字符串\(S\)

solution
操作中沒有‘c‘，也就是說可以以‘c‘為間隔拆分字符串，通過手工計算，可以知道字符串中的‘ab‘, ‘ba‘可以互相替換，因為‘ab‘->‘abaa‘->‘ababba‘->‘ba‘，反過來‘ba‘就可以變成‘ab‘，所以只要每一段的‘a‘, ‘b‘的數目的奇偶性分別相等，則\(S\)可以變成\(T\)。

時間復雜度：\(O(n)\)

I. Longest Increasing Subsequence

題目描述：給定一個數列\(a_i \leq n\)，設\(f(x)\)表示將數列裏的\(0\)替換成\(x\)後，最長嚴格上升子序列的長度，求\(\sum_{i=1}^n if(i)\)。

solution
顯然，\(f(x)\)要麽等於原最長嚴格上升子序列，要麽加一。所以只需要求出哪些數能讓答案加一即可。所以先預處理出原序列的最長嚴格上升子序列，若\(i\)和\(j\)是最長嚴格上升子序列的相鄰兩位，且\(i\)和\(j\)之間有\(0\)，則\([a_i+1, a_j-1]\)內的數能使答案加一。這個可以從左到右掃一遍，然後記錄最長嚴格上升子序列的某一位的最小的數是什麽即可（這個數的位置的右邊必須有\(0\)）

時間復雜度：\(O(nlogn)\)

J. Vertex Cover

題目描述：給出一個\(n\)個點的完全圖，編號為\(0\)~\((n-1)\)，點權為\(2^i\)。開始時\(A\)選定若幹條邊，然後\(B\)選擇若幹個點來覆蓋這些邊（每條邊的端點至少有一個被選），\(B\)選的點的點權是最小的。求出\(A\)有多少種選擇方案使得\(B\)的點權和為\(k\)。

solution
一個點能被\(B\)選上，必定是這個點與另一個點權比它大的點的連邊至少有一條被選上，而且該點與比它小的點的連邊都沒有被選上。按照這個即可算出答案。

時間復雜度：\(O(n)\)

K. 2018

題目描述：給定\(a, b, c, d\)，求出滿足\(a\leq x \leq b, c\leq y \leq d, xy=2018\)的數對\((x, y)\)的個數。

solution
容斥原理。

時間復雜度：\(O(1)\)

2018 年“三盟科技杯”中國大學生程序設計競賽（湖南）