T1:尋寶遊戲

Description

小B最近正在玩一個尋寶遊戲，這個遊戲的地圖中有N個村莊和N-1條道路，並且任何兩個村莊之間有且僅有一條路徑可達。遊戲開始時，玩家可以任意選擇一個村莊，瞬間轉移到這個村莊，然後可以任意在地圖的道路上行走，若走到某個村莊中有寶物，則視為找到該村莊內的寶物，直到找到所有寶物並返回到最初轉移到的村莊為止。小B希望評測一下這個遊戲的難度，因此他需要知道玩家找到所有寶物需要行走的最短路程。但是這個遊戲中寶物經常變化，有時某個村莊中會突然出現寶物，有時某個村莊內的寶物會突然消失，因此小B需要不斷地更新數據，但是小B太懶了，不願意自己計算，因此他向你求助。為了簡化問題，我們認為最開始時所有村莊內均沒有寶物

Input

第一行，兩個整數N、M，其中M為寶物的變動次數。

接下來的N-1行，每行三個整數x、y、z，表示村莊x、y之間有一條長度為z的道路。

接下來的M行，每行一個整數t，表示一個寶物變動的操作。若該操作前村莊t內沒有寶物，則操作後村莊內有寶物；若該操作前村莊t內有寶物，則操作後村莊內沒有寶物。

Output

M行，每行一個整數，其中第i行的整數表示第i次操作之後玩家找到所有寶物需要行走的最短路程。若只有一個村莊內有寶物，或者所有村莊內都沒有寶物，則輸出0。

Sample Input

4 5
1 2 30
2 3 50
2 4 60
2
3
4
2
1

Sample Output

0
100
220
220
280
 

HINT

1<=N<=100000

1<=M<=100000

對於全部的數據，1<=z<=10^9

solution

其實這題是一個比較坑爹的題，可以用虛樹做，也可以用set+lca做

這裏講下set+lca的做法

首先我們可以將各個點的dfn值在set中刪除，用dfn是因為set中的元素都是有序的，這樣方便查找，當然也可以手寫rank_tree（splay，treap等），這樣效率或許更高。

插入操作：我們可以將一點x插入到set中，將上一次的答案加上x點到其前驅以及後繼點的路徑長，再減去該兩點之間的路徑長。

刪除操作：我們可以將上一次答案加上待刪除的點x的前驅和後繼之間的路徑長，再減去x到前驅後後繼的路徑。

期間我們可以用樹剖求lca，並在樹剖的第一個dfs裏初始化好各個點到根的距離。

虛樹做法

易知，答案就是各個關鍵點之間形成的樹的邊權和的兩倍，這就是虛樹！對於一顆虛樹，答案就是各個的dfs序排序，相鄰兩點的距離和，再加上最後一個到第一個的距離,直接用set維護dfs序就好了，註意最後要減掉所有關鍵點的LCA的深度

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<set>
using namespace std;
 
const int N=1000001;
int n,q,tot,root,maxn,dftim,tim[N],fa[N],to[N<<1],nx[N<<1],head[N<<1],dep[N],siz[N],son[N],top[N],dfn[N],dfnnode[N+5];
long long cost[N<<1],ans,toroot[N];
bool flag[N];
set<int> s;
 
void addedge(int x,int y,long long z){
    nxt[++tot]=head[x]; 
    head[x]=tot;
    to[tot]=y;
    cost[tot]=z;
}
  
void dfs1(int u,int f) {
    dfn[u]=++dftim;
    dfnnode[dfn[u]]=u;
    dep[u]=dep[fa[u]=f]+(siz[u]=1);
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i]) {
        int v=to[i];
        if(v==f)continue;
        toroot[to[i]]=toroot[u]+cost[i];
        dfs1(v,u);
        siz[u]+=siz[v];
        if(siz[v]>siz[son[u]])son[u]=v;
    }
}

void dfs2(int u,int topf){
    top[u]=topf;
    if(!son[u])return;
    dfs2(son[u],topf);
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
        int v=to[i];
        if(v==fa[u] or v==son[u])continue;
        dfs2(v,v);
    }
}
 
int lca(int x,int y) {
    register int u=x,v=y;
    while(top[u]!=top[v]) {
        if(dep[top[u]]<dep[top[v]])swap(u,v);
        u=fa[top[u]];
    }
    return dep[u]<=dep[v]?u:v;
}
 
long long get(int x,int y){
    int z=lca(x,y);
    return toroot[x]+toroot[y]-2*toroot[z];
}
 
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1; i<n; ++i) {
        int u,v;
        long long w;
        scanf("%d%d%lld",&u,&v,&w);
        addedge(u,v,w),addedge(v,u,w);
        tim[u]++,tim[v]++;
        if(tim[u]>maxn)root=u,maxn=tim[u];
        if(tim[v]>maxn)root=v,maxn=tim[v];
    }
    dfs1(root,0);
    dfs2(root,root);    
    s.insert(0),s.insert(n+1);
    while(q--){
        int x;scanf("%d",&x);
        if(flag[x]){
            int las=*--s.find(dfn[x]),nxt=*++s.find(dfn[x]);
            if(las>=1)ans-=get(dfnnode[las],x);
            if(nxt<=n)ans-=get(dfnnode[nxt],x);
            if(las>=1 and nxt<=n)ans+=get(dfnnode[las],dfnnode[nxt]);
            s.erase(dfn[x]);
        }else{
            s.insert(dfn[x]);
            int las=*--s.find(dfn[x]),nxt=*++s.find(dfn[x]);
            if(las>=1)ans+=get(dfnnode[las],x);
            if(nxt<=n)ans+=get(dfnnode[nxt],x);
            if(las>=1 and nxt<=n)ans-=get(dfnnode[las],dfnnode[nxt]);
        }
        int first=*++s.find(0),last=*--s.find(n+1);long long hehe=0;
        if (first<1 or last>n) hehe=0;
        else hehe=get(dfnnode[first],dfnnode[last]);
        printf("%lld\n",ans+hehe);
        flag[x]=!flag[x];
    }
    return 0;
}

BZOJ3991 [SDOI2015][XSYOJ1979]尋寶遊戲_LCA_虛樹_SET題解