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題意

給你一個 $ n*n $ 的正實數矩陣 $ A $ ，滿足XWW性。

稱一個 $ n*n $ 的矩陣滿足XWW性當且僅當：

• $ A[n][n] = 0 $
• 矩陣中每行的最後一個元素等於該行前 $ n-1 $ 個數的和（除最後一行）
• 矩陣中每列的最後一個元素等於該列前 $ n-1 $ 個數的和（除最後一列）

現在你要給 $ A $ 中的數進行取整操作（可以是上取整或者下取整），使得最後的 $ A $ 矩陣仍然滿足XWW性。

問你 $ A $ 中元素之和最大為多少。如果無解，輸出"No"。

題解

考慮將每一行和每一列看做一個點。

首先從源點向每一行 $ R(i) $ 連一條上下界分別為 $ (\lfloor A[i][n] \rfloor, \lceil A[i][n] \rceil) $ 的邊，從每一列 $ C(i) $ 向匯點連一條上下界分別為 $ (\lfloor A[n][i] \rfloor, \lceil A[n][i] \rceil) $ 的邊。

然後對於每一個 $ A[i][j] $ 來說，連一條從 $ R(i) $ 到 $ C(i) $ 的上下界為 $ (\lfloor A[i][j] \rfloor, \lceil A[i][j] \rceil) $ 邊。

這樣就保證了最大流一定滿足了後兩個條件。

然後跑有上下界的有源匯最大流就好。

AC Code

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <vector>
#include <queue>
 

#define MAX_N 205
#define INF 1000000000
#define r(x) (x)
#define c(x) (n-1+(x))

using namespace std;

struct Edge
{
    int dst,cap,rev;
    Edge(int _dst,int _cap,int _rev) { dst=_dst,cap=_cap,rev=_rev; }
    Edge(){}
};

int n,s,t,S,T,tot,dif=0;
int a[MAX_N];
int it[MAX_N];
int lv[MAX_N];
double w[MAX_N][MAX_N];
vector<Edge> edge[MAX_N];
queue<int
 
> q;

void read()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            scanf("%lf",&w[i][j]);
        }
    }
}

inline void add(int s,int t,int c)
{
    edge[s].push_back(Edge(t,c,edge[t].size()));
    edge[t].push_back(Edge(s,0,edge[s].size()-1));
}

void build()
{
    s=(n<<1)-1,t=s+1,S=t+1,T=S+1,tot=T;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        add(s,r(i),ceil(w[i][n])-floor(w[i][n]));
        add(c(i),t,ceil(w[n][i])-floor(w[n][i]));
        a[s]-=floor(w[i][n]),a[r(i)]+=floor(w[i][n]);
        a[c(i)]-=floor(w[n][i]),a[t]+=floor(w[n][i]);
    }
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        for(int j=1;j<n;j++)
        {
            add(r(i),c(j),ceil(w[i][j])-floor(w[i][j]));
            a[r(i)]-=floor(w[i][j]),a[c(j)]+=floor(w[i][j]);
        }
    }
    add(t,s,INF);
    for(int i=1;i<=(n<<1);i++)
    {
        if(a[i]>0) dif+=a[i],add(S,i,a[i]);
        else if(a[i]<0) add(i,T,-a[i]);
    }
}

void bfs(int s)
{
    memset(lv+1,0,sizeof(int)*tot);
    q.push(s),lv[s]=1;
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front(); q.pop();
        for(int i=0;i<edge[x].size();i++)
        {
            Edge temp=edge[x][i];
            if(temp.cap>0 && !lv[temp.dst])
            {
                lv[temp.dst]=lv[x]+1;
                q.push(temp.dst);
            }
        }
    }
}

int dfs(int x,int t,int f)
{
    if(x==t) return f;
    for(int &i=it[x];i<edge[x].size();i++)
    {
        Edge &temp=edge[x][i];
        if(temp.cap>0 && lv[x]<lv[temp.dst])
        {
            int d=dfs(temp.dst,t,min(f,temp.cap));
            if(d>0)
            {
                temp.cap-=d;
                edge[temp.dst][temp.rev].cap+=d;
                return d;
            }
        }
    }
    return 0;
}

int max_flow(int s,int t)
{
    int ans=0,f;
    while(true)
    {
        bfs(s);
        if(!lv[t]) return ans;
        memset(it+1,0,sizeof(int)*tot);
        while((f=dfs(s,t,INF))>0) ans+=f;
    }
}

void work()
{
    build();
    int now=max_flow(S,T);
    if(now!=dif)
    {
        printf("No\n");
        return;
    }
    printf("%d\n",max_flow(s,t)*3);
}

int main()
{
    read();
    work();
}

BZOJ 3698 XWW的難題：有上下界的最大流