求常微分方程的原理(懶得重新打一遍。。於是把我知乎上的一個相關回答搬過來)：

這裏介紹一種方法，叫歐拉法，比如，形如：

$$ \left\{ \begin{gathered} \quad \frac{dy}{dx}=f(x,y) \\ y(x_0)=y_0 \end{gathered} \right. $$

的一階微分方程（註：用數值方法求解時，默認有解且唯一）。

通過初始條件： $$ y(x_0)=y_0 $$

可以計算出： $$ y‘(x_0)=f(x_0,y_0) $$

假設 充分小，則近似的有：

$$ \frac{y(x_1)-y(x_0)}{h} \approx y‘(x_0)=f(x_0,y_0) \quad $$

記 $$ y_i=y(x_i) \quad i=0,1,...,n $$

取 $$ y_1=y_0+hf(x_0,y_0) $$

同樣的方法，計算出

$$ y_2=y_1+hf(x_1,y_1) $$

於是得到遞推公式：

$$ y_{i+1}=y_i+hf(x_i,y_i) ，h為步長 $$

參考：常微分方程組的數值算法解法 P_1~2

例題：求一階微分方程：

$$ \left\{ \begin{gathered} \frac{dy}{dx}=y \\ y(0)=1 \end{gathered} \right. \\ 步長h=0.01，x=0.10時的值 $$

下面是代碼實現：

#include<bits/stdc++.h>
int main()
{
    // 歐拉法：yi+1 = yi + h * f(x,y)
    // 
    double h = 0.001, x = 0.10, y = 1.00;
    for(double i = 0.00; i <= x; i += h)
        y += h*y;
    printf("%.4f\n", y);
    return 0;
}

Output:

1.1157

Process returned 0 (0x0)   execution time : 0.420 s
Press any key to continue.

精確結果：

e^0.1
1.1051709180756

當h=0.001時：

1.1051

Process returned 0 (0x0)   execution time : 0.401 s
Press any key to continue.

看起來還是不錯的，但精度還是不夠，一些特殊方程，或許需要更高的精度，則會導致計算效率非常差。。。

使用龍格-庫塔法提高精度：

ps:明天再填。。。

求簡單的常微分方程