數字三角形案例

題目描述 Description

下圖給出了一個數字三角形，請編寫一個程序，計算從頂至底的某處的一條路徑，使該路徑所經過的數字的總和最大。
（1）每一步可沿左斜線向下或右斜線向下
（2）1 < 三角形行數 < 100
（3）三角形數字為0，1，…99

輸入描述 Input Description

有很多個測試案例，對於每一個測試案例， 通過鍵盤逐行輸入，第1行是輸入整數（如果該整數是0,就表示結束，不需要再處理），表示三角形行數n，然後是n行數

輸出描述 Output Description

輸出最大值。

樣例輸入 Sample Input

5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
 

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6

樣例輸出 Sample Output

30

• 1

遞歸解法

解題思路

用二維數組存放數字三角形。
D( r, j) : 第r行第 j 個數字(r,j從1 開始算)
MaxSum(r, j) : 從D(r,j)到底邊的各條路徑中，最佳路徑的數字之和。
問題：求 MaxSum(1,1)
典型的遞歸問題。
D(r, j)出發，下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。故對於N行的三角形：

if ( r == N)
 MaxSum(r,j) = D(r,j)
else
 MaxSum( r, j) = Max{ MaxSum(r＋1,j), MaxSum(r+1,j+1) } + D(r,j)
 

• 1
• 2
• 3
• 4

代碼實現

#include <iostream>
#include <algorithm>

#define Max 101

using namespace std;

int D[Max][Max];

int num;

int MaxSum(int i, int j){
    if(i == num)
        return D[i][j];
    int x = MaxSum(i + 1, j);
    int y = MaxSum(i + 1, j + 1);
    return max(x,y) + D[i][j];
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    int i, j;

    cin >> num;

    for(i = 1; i <= num; i ++)
        for(j = 1; j <= i; j ++)
            cin >> D[i][j];
    cout << MaxSum(1,1) << endl;
    return 0;
}
 

時間復雜度

遞歸求解，會嚴重超時，因為出現重復計算，如下圖所示。深度遍歷每條路徑，存在大量重復計算。5行的總時間為：1+2+4+8+16=31=25?1

則時間復雜度為 2n

記憶遞歸動歸程序

解題思路

第一次計算MaxSum(r,j)值的時候，保存下來，下次需要的時候，直接取出計算，這樣就避免了重復計算。時間復雜度為O(n2)

，因為三角形的數字總和為n(n+1)/2

。

代碼實現

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include "string.h"

#define Max 101

using namespace std;

int D[Max][Max];
int Max_Sum_arr[Max][Max];

int num;

int MaxSum(int i, int j){
    if(Max_Sum_arr[i][j] != -1)
        return Max_Sum_arr[i][j];
    if(i == num)
        Max_Sum_arr[i][j] = D[i][j];
    else{
        int x = MaxSum(i + 1, j);
        int y = MaxSum(i + 1, j + 1);
        Max_Sum_arr[i][j] = max(x,y) + D[i][j];
    }

    return Max_Sum_arr[i][j];
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    int i, j;

    cin >> num;

    for(i = 1; i <= num; i ++)
        for(j = 1; j <= i; j ++)
            cin >> D[i][j];
    memset(Max_Sum_arr,-1,sizeof(Max_Sum_arr));
    cout << MaxSum(1,1) << endl;
    return 0;
}

遞推型動歸程序

解題思路

從底向上遞推，出最後一行外，每一行的每個點的最大值等於自身加上下面一行對應左右兩個點的最大值，從下往上遞推，最頂部的即所求。比如下圖所示。首先最後一行的最大值就是它本身。倒數第二行第一個數7就是輸入的倒二行的第一個數2 + 4 和 2 +5 取最大值 。逐步遞推到頂部。

5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

代碼實現

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include "string.h"

#define Max 101

using namespace std;

int D[Max][Max];


int num;



int MaxSum(int num){
    int i, j;
    for(i = num - 1; i >= 1; i --)
        for(j = 1; j <= i; j ++){
            D[i][j] = max(D[i+1][j],D[i+1][j+1]) + D[i][j];
        }
    return D[1][1];
}
int main(int argc, char const *argv[])
{
    int i, j;

    cin >> num;

    for(i = 1; i <= num; i ++)
        for(j = 1; j <= i; j ++)
            cin >> D[i][j];
    cout << MaxSum(num) << endl;
    return 0;
}

動態規劃_數字三角形