歐幾裏得算法

即輾轉相除法，證明如下。

基本算法：設a=qb+r，其中a，b，q，r都是整數，則gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

第一種證明：

a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b

假設d是a,b的一個公約數，則有

d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公約數

假設d 是(b,a mod b)的公約數，則

d | b , d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公約數

因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證

乘法逆元

乘法逆元官方定義：

群G中任意一個元素a，都在G中有唯一的逆元a‘,具有性質aa‘=a‘a=e，其中e為群的單位元。

然而我太菜了並沒有看懂。

然而百度百科非常人性化，它還有配套的例子！

例子如下：

例如：4關於1模7的乘法逆元為多少？

4X≡1 mod 7

這個方程等價於求一個X和K，滿足

4X=7K+1

其中X和K都是整數。

這就很容易理解了。

如果有ax≡1(modp)，則稱x是mod p意義下a的乘法逆元。

其實就是a乘一個數在什麽情況下％p什麽時候＝1。

改變一下形式就是ax＝pk＋1的一組解，求x即可。

通過費馬小定理，可以得到一個新的算法。

即(a/b)%p=1;但是我們無法直接求1/b的值，所以我們就把b/1設成c，只須求ac%p=1即可。

費馬小定理可得：b%p的逆元 = b^p-2（mod p）;

數論（1）