牛客網暑期ACM多校訓練營（第一場）

A.Monotonic Matrix

這個題就是給你一個n*m的矩陣，往裏面填{0,1,2}這三種數，要求是A_i,j?A_i+1,j，A_i,j?A_i,j+1 ，問你一共有幾種填法。

變形一下就會發現其實是走非交叉格子路徑計數，限制條件下的非降路徑問題。就是從左上到右下走格子路徑。從上到下為0——n，從左到右為0——m。

考慮 01 和 12 的分界線，是 (n, 0) 到 (0, m) 的兩條不相交（可重合）路徑，因為起點重合了，所以把其中一條路徑往左上平移了一格，平移其中一條變成 (n-1, -1) 到 (-1, m-1) 變成起點 (n, 0) 和 (n-1, -1)，終點 (0, m) 和 (-1, m-1) 的嚴格不相交路徑。可以想一下，分界線將格子圖分成三部分，從左上到右下依次為0,1,2。(不好意思，史詩災難級靈魂脫殼畫手。。。)

叉姐說套Lindstr?m–Gessel–Viennot引理:

就可以得到公式: (C_{n+m, n}) ² - C_{n+m, m - 1} *C_{n+m, n-1}。

通過組合數求解的模板，就可以了。

關於Lindstr?m–Gessel–Viennot引理，具體的不清楚，有興趣的自己去看吧。

和本題有關的傳送門:

1.格子圖中具有一定限制條件的非降路徑數

2.非降路徑問題

3.392-非降路徑問題

4.Lindstr?m–Gessel–Viennot lemma 應用兩則

5.Lindstr?m–Gessel–Viennot lemma

兩份代碼：一份自己的垃圾代碼，一份叉姐的官方題解標程

代碼:(我的)

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cmath>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<cmath>
 7 using namespace std;
 8 typedef long long ll;
 9 const int N=1e5+5;
10 const ll MOD = 1e9+7;
11 ll F[N], Finv[N], inv[N];
12 void
 
 init()
13 {
14     inv[1] = 1;
15     for(ll i = 2; i < N; i ++)
16     {
17         inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;
18     }
19     F[0] = Finv[0] = 1;
20     for(ll i = 1; i < N; i ++)
21     {
22         F[i] = F[i-1] * 1ll * i % MOD;
23         Finv[i] = Finv[i-1] * 1ll * inv[i] % MOD;
24     }
25 }
26 ll comb(ll n, ll m)//c(n,m);
27 {
28     if(m < 0 || m > n) return 0;
29     return F[n] * 1ll * Finv[n - m] % MOD * Finv[m] % MOD;
30 }
31 int main()
32 {
33     init();
34     int n,m;
35     while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
36         ll cnt1=comb(n+m,n)*comb(n+m,n);
37         ll cnt2=comb(n+m,m-1)*comb(n+m,n-1);
38         ll ans=((cnt1-cnt2)%MOD+MOD)%MOD;
39         cout<<ans<<endl;
40     }
41 }

代碼:(叉姐的官方標程)

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 
 3 const int MOD = 1e9 + 7;
 4 
 5 const int N = 1005;
 6 
 7 int dp[N][N];
 8 
 9 void update(int& x, int a)
10 {
11     x += a;
12     if (x >= MOD) {
13         x -= MOD;
14     }
15 }
16 
17 int sqr(int x)
18 {
19     return 1LL * x * x % MOD;
20 }
21 
22 int main()
23 {
24     dp[0][0] = 1;
25     for (int i = 0; i < N; ++ i) {
26         for (int j = 0; j < N; ++ j) {
27             if (i) {
28                 update(dp[i][j], dp[i - 1][j]);
29             }
30             if (j) {
31                 update(dp[i][j], dp[i][j - 1]);
32             }
33         }
34     }
35     int n, m;
36     while (scanf("%d%d", &n, &m) == 2) {
37         printf("%d\n", static_cast<int>((sqr(dp[n][m]) + MOD - 1LL * dp[n - 1][m + 1] * dp[n + 1][m - 1] % MOD) % MOD));
38     }
39 }

溜了溜了。

牛客網暑期ACM多校訓練營（第一場） A.Monotonic Matrix-非降路徑，Lindström-Gessel-Viennot引理-組合數學