【NOI2018】屠龍勇士(數論,exgcd)
阿新 • • 發佈:2018-07-23
fine %d cpp work 得到 結果 spa 做了 stdin
那麽,一個可行解\(X=X0[i]+kd[i]\),其中\(d[i]=p[i]/gcd(p[i],atk[i])\),\(k\)是常數。
考慮如何合並兩個解,
\(X0[1]+k_1d[1]=X0[2]+k_2d[2]\)
不妨令\(X0[2]\gt X0[1]\),移項得
\(X0[2]-X0[1]=k_1d[1]+k_2d[2]\)
還是一個\(exgcd\),同時\(k_1\ge 0,k_2\le 0\),還是這裏額外算一下,中間值可能爆\(ll\)
然後就可以算出這兩個方程合並後的最小特解\(X0\),
那麽這兩個方程合並後的通解就成了\(X=X0+lcm(d[1],d[2])\)
這樣子順次合並就行了。 的問題,發現額外計算一下的過程就是一個取模+減法
所以龜速乘解決就好了。
然後無解就是某一步的時候\(exgcd\)無解,直接判就好。
【NOI2018】屠龍勇士(數論,exgcd)
題面
洛谷
題解
考場上半個小時就會做了,一個小時就寫完了。。
然後發現沒過樣例,結果大力調發現中間值爆\(longlong\)了,然後就沒管了。。
然後又沒切掉。。。我是真的傻逼。。。
首先每次選擇的刀一定,直接一個\(multiset\)就算出來了。
然後對於每關都單獨解一個方程
\(atk[i]x+p[i]y=a[i]\),直接\(exgcd\)求解即可。
但是註意題目方程的含義,所以\(x\gt 0,y\le 0\)
所以要解出來之後還需要額外的計算一下(就是這裏可能爆\(ll\)...)
那麽此時對於每一個方程,我們都得到了一個最小的通解\(X0[i]\)
那麽,一個可行解\(X=X0[i]+kd[i]\),其中\(d[i]=p[i]/gcd(p[i],atk[i])\),\(k\)是常數。
考慮如何合並兩個解,
\(X0[1]+k_1d[1]=X0[2]+k_2d[2]\)
不妨令\(X0[2]\gt X0[1]\),移項得
\(X0[2]-X0[1]=k_1d[1]+k_2d[2]\)
還是一個\(exgcd\),同時\(k_1\ge 0,k_2\le 0\),還是這裏額外算一下,中間值可能爆\(ll\)
然後就可以算出這兩個方程合並後的最小特解\(X0\),
那麽這兩個方程合並後的通解就成了\(X=X0+lcm(d[1],d[2])\)
這樣子順次合並就行了。
至於中間值爆\(ll\)
所以龜速乘解決就好了。
然後無解就是某一步的時候\(exgcd\)無解,直接判就好。
為啥他們都說是拓展CRT,我怎麽不知道啊???
這題我的代碼寫得好亂啊
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #include<set> using namespace std; #define ll long long #define MAX 100100 inline ll read() { ll x=0;bool fl=false;char ch=getchar(); while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar(); if(ch=='-')fl=true,ch=getchar(); while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-48,ch=getchar(); return fl?-x:x; } int n,m; ll a[MAX],p[MAX],g[MAX],atk[MAX]; ll LCM(ll a,ll b){return (a/__gcd(a,b))*b;} ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) { if(b==0){x=1;y=0;return a;} ll d=exgcd(b,a%b,y,x); y-=a/b*x;return d; } namespace Choose { multiset<ll> S; multiset<ll>::iterator it,itt; void Work() { for(int i=1;i<=n;++i) { it=itt=S.upper_bound(a[i]); if(it!=S.begin())--itt,atk[i]=*itt,S.erase(itt); else atk[i]=*it,S.erase(it); S.insert(g[i]); } } } ll X0[MAX],d[MAX]; void init() { Choose::S.clear(); memset(a,0,sizeof(a));memset(atk,0,sizeof(atk)); memset(g,0,sizeof(g));memset(p,0,sizeof(p)); memset(X0,0,sizeof(X0));memset(d,0,sizeof(d)); } ll Multi(ll a,ll b,ll p) { ll s=0; while(b){if(b&1)s=(s+a)%p;a=(a+a)%p;b>>=1;} return (s+p)%p; } bool Solve() { ll x,y; for(int i=1;i<=n;++i) { ll D=__gcd(atk[i],p[i]),t,G,bs; if(a[i]%D)return false; exgcd(atk[i]/D,p[i]/D,x,y); G=p[i]/D;t=Multi(x,a[i]/D,G); if(t==0)t+=G; x=t;y=(a[i]-atk[i]*x)/p[i]; if(y>0) { t=-y;G=atk[i]/D; t=(t%G+G)%G;bs=(t+y)/G; y=-t;x+=bs*(p[i]/D); } X0[i]=x,d[i]=p[i]/D; } for(int i=2;i<=n;++i) { if(X0[i]<X0[i-1])swap(X0[i],X0[i-1]),swap(d[i],d[i-1]); ll c=X0[i]-X0[i-1],D=__gcd(d[i],d[i-1]),G,t,bs; if(c%D!=0)return false; exgcd(d[i-1]/D,d[i]/D,x,y); G=d[i]/D;t=Multi(x,c/D,G); x=t;y=(c-x*d[i-1])/d[i]; if(y>0) { t=-y;G=d[i-1]/D; t=(t%G+G)%G;bs=(t+y)/D; y=t;x+=bs*(d[i]/D); } X0[i]-=d[i]*y;d[i]=LCM(d[i],d[i-1]); } return true; } int main() { freopen("dragon.in","r",stdin); freopen("dragon.out","w",stdout); int T=read(); while(T--) { init(); n=read();m=read(); for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read(); for(int i=1;i<=n;++i)p[i]=read(); for(int i=1;i<=n;++i)g[i]=read(); for(int i=1;i<=m;++i)Choose::S.insert(read()); Choose::Work(); if(!Solve())puts("-1"); else printf("%lld\n",X0[n]); } return 0; }
【NOI2018】屠龍勇士(數論,exgcd)