貝爾級數只針對積性函數，如無特殊說明下文函數均為積性函數。
定義f模p的貝爾級數為：
fp(x)=∑0≤if(pi)xifp(x)=∑0≤if(pi)xi
特別的，對於完全積性函數來說：
fp(x)=11?f(p)xfp(x)=11?f(p)x
例如，ep(x)=1,1p(x)=11?x,idp(x)=11?px,μp(x)=1?x,(μ2)p(x)=1+x,(id?μ)p(x)=1+px,?p(x)=1?x1?pxep(x)=1,1p(x)=11?x,idp(x)=11?px,μp(x)=1x,(μ2)p(x)=1+x,(id?μ)p(x)=1+px,?p(x)=1?x1?px

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顯然完全積性，因此λp(x)=11+xλp(x)=11+x
結論：(f?g)p(x)=fp(x)gp(x)(f?g)p(x)=fp(x)gp(x)
看幾個例子：
id?(μ?id)=eid?(μ?id)=e，因為11?px(1?px)=111?px(1?px)=1
求μ2?(id?μ)μ2?(id?μ)的前綴和
這東西的貝爾級數是(1+x)(1-px)，把這東西和id卷一卷就是(1+x)也就是mu方。

貝爾級數在構造杜 大發彩_票源碼下載 教篩卷積中的應用