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百事世界杯之旅

題目描述

“……在2002年6月之前購買的百事任何飲料的瓶蓋上都會有一個百事球星的名字。只要湊齊所有百事球星的名字，就可參加百事世界杯之旅的抽獎活動，獲得球星背包，隨聲聽，更克赴日韓觀看世界杯。還不趕快行動！”

你關上電視，心想：假設有n個不同的球星名字，每個名字出現的概率相同，平均需要買幾瓶飲料才能湊齊所有的名字呢？

輸入輸出格式

輸入格式：

整數n（2≤n≤33），表示不同球星名字的個數。

輸出格式：

輸出湊齊所有的名字平均需要買的飲料瓶數。如果是一個整數，則直接輸出，否則應該直接按照分數格式輸出，例如五又二十分之三應該輸出為（復制到記事本）：$5 \frac{3}{20}$第一行是分數部分的分子，第二行首先是整數部分，然後是由減號組成的分數線，第三行是分母。減號的個數應等於分母的為數。分子和分母的首位都與第一個減號對齊。

分數必須是不可約的。

輸入輸出樣例

2

3

　　分析：

　　很明顯的數學期望。

　　首先我們設當前還需要收集$k$個球星，現在的裝態為$f(n,k)$，那麽轉移的方程就是：$f(n,k)=\frac {(n-k)*f(n,k)}{n}+\frac {k*f(n,n-k)}{n}+1$，因為很明顯我們收集到了$n-k$個球星，那麽抽到沒收集到的球星的概率為$\frac {k}{n}$，抽到收集到的球星的概率為$\frac {n-k}{n}$，後面的那個+1就是代表多買了一瓶飲料。然後把方程移項，得到：$f(n,k)=f(n,n-k)+\frac {n}{k}$。然後註意輸出就行了。

　　Code：

//It is made by HolseLee on 25th July 2018
//Luogu.org P1291
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
ll n,ans,m=1,ka;

inline ll gcd(ll x,ll y)
{
    return y==0?x:gcd(y,x%y);
}

inline ll get(ll x)
{
    ll ret=0;
    while(x){
        ret++;x/=10
 
;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n;
    for(int i=n;i>=1;i--){
        ans=ans*i+m*n;
        m*=i;ka=gcd(ans,m);
        ans/=ka;m/=ka;
    }
    ka=ans/m;
    ans%=m;
    if(ans==0)
        printf("%lld\n",ka);
    else {
        ll gi=get(ka),lu=get(m);
        for(int i=1;i<=gi;i++)
            printf(" ");
        printf("%lld\n",ans);
        if(ka>0)
            printf("%lld",ka);
        for(int i=1;i<=lu;i++)
            printf("-");
        printf("\n");
        for(int i=1;i<=gi;i++)
            printf(" ");
        printf("%lld\n",m);
    }
    return 0;
}

洛谷P1291 [SHOI2002]百事世界杯之旅 [數學期望]