青蛙的約會 POJ1061(拓展歐幾裏得)
阿新 • • 發佈：2018-07-29
mat mathjax type font ble 其中 org 次數 ont 兩只青蛙在網上相識了，它們聊得很開心，於是覺得很有必要見一面。它們很高興地發現它們住在同一條緯度線上，於是它們約定各自朝西跳，直到碰面為止。可是它們出發之前忘記了一件很重要的事情，既沒有問清楚對方的特征，也沒有約定見面的具體位置。不過青蛙們都是很樂觀的，它們覺得只要一直朝著某個方向跳下去，總能碰到對方的。但是除非這兩只青蛙在同一時間跳到同一點上，不然是永遠都不可能碰面的。為了幫助這兩只樂觀的青蛙，你被要求寫一個程序來判斷這兩只青蛙是否能夠碰面，會在什麽時候碰面。
我們把這兩只青蛙分別叫做青蛙A和青蛙B，並且規定緯度線上東經0度處為原點，由東往西為正方向，單位長度1米，這樣我們就得到了一條首尾相接的數軸。設青蛙A的出發點坐標是x，青蛙B的出發點坐標是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，兩只青蛙跳一次所花費的時間相同。緯度線總長L米。現在要你求出它們跳了幾次以後才會碰面。
我們把這兩只青蛙分別叫做青蛙A和青蛙B，並且規定緯度線上東經0度處為原點，由東往西為正方向，單位長度1米，這樣我們就得到了一條首尾相接的數軸。設青蛙A的出發點坐標是x，青蛙B的出發點坐標是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，兩只青蛙跳一次所花費的時間相同。緯度線總長L米。現在要你求出它們跳了幾次以後才會碰面。
Input
輸入只包括一行5個整數x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。Output
輸出碰面所需要的跳躍次數，如果永遠不可能碰面則輸出一行"Impossible"Sample Input
1 2 3 4 5
Sample Output
4
題解：
要求（a）
x+am≡y+an (mod L)
即： a(m?n)≡y?x (mod L)
即： a(m?n)+Lk=y?x
用拓展歐幾裏得求
a(m?n)+Lk=gcd(m?n,L)
令 d=gcd(m-n,L), c=y-x;
若c%d!=0 則無解。
解出a後，最終答案為：(a?c/d)mod(L/d)
證明：設要解的方程（求x）是：
ax1+by1=c而我們已經解得
ax+by=gcd(a,b)=d 此時將第二個方程左右同時乘c/d，則可得： ax?c/d+by?c/d=c所以：
x1=x?c/d這樣並沒有完，因為這只是一組解，我們要求最小正整數解。
我們知道：若一組 < x,y > 是ax+by=c的一組解，那麽
<x?b/d,y+a/d>也是原方程的一組解。
這樣我們只需要讓解得的x不斷減b/d，直到再減就為負數時，所得的x就是我們要的解。
其實這個過程就是模運算，所以最小正整數解就是：
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #include<cstring>
4 using namespace std;
5 typedef long long ll;
6 ll x,y,m,n,l;
7 ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)//可以求出a,b和x,y的任意一組值
8 {
9 if(b==0)
10 {
11 x=1;
12 y=0;
13 return a;
14 }
15 ll q=ex_gcd(b,a%b,y,x);
16 y-=a/b*x;
17 return q;
18 }
19 int main()
20 {
21 while(~scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l))
22 {
23 if(m==n)
24 {
25 printf("Impossible\n");
26 continue;
27 }
28 if(m<n)
29 {
30 ll t=m;
31 m=n;
32 n=t;
33 ll q=y;
34 y=x;
35 x=q;
36 }
37 ll c=y-x;
38 ll a,k;
39 ll d=ex_gcd(m-n,l,a,k);
40 if(c%d)
41 printf("Impossible\n");
42 else
43 printf("%lld\n",((a*c/d)%(l/d)+(l/d))%(l/d));
44 }
45 }
青蛙的約會 POJ1061(拓展歐幾裏得)