博弈

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前言

本博文分三部分，第一部分簡單介紹SG函數，第二部分簡單介紹博主所理解的一些博弈模型，第三部分推薦題目以及分享做題心得，本文基本不適合初學者食用，初學者請移步下方鏈接

論文：2009賈誌豪（百度文庫可搜）
自為風月馬前卒的總結
自為風月馬前卒的題目

Part1 SG函數

優勢：可以實現對多個遊戲進行加和

計算方式：\(SG(x)=mex(SG(y))\)，其中\(mex\)指集合中最小沒有出現過的自然數，\(y\)為\(x\)的後繼狀態

遊戲加和：\(SG=SG(x_1) \bigoplus SG(x_2) \bigoplus ...\bigoplus SG(x_n)\)

意義：\(SG=0\)表示先手必敗，為P狀態，否則為N狀態，先手必勝

理解：化為\(Nim\)遊戲，對於每個\(SG\)不為\(0\)的狀態總有一種方案使得\(SG\)成為\(0\)

Part2 平等博弈模型

1.巴什博弈（Bash Game）

問題：只有一堆\(n\)個物品，兩個人輪流從這堆物品中取物，規定每次至少取一個，最多取\(m\)個。最後取光者得勝
結論：\(n\%(m+1)\)為\(0\)先手必敗否則必勝

2.威佐夫博弈（Wythoff Game）

問題：有兩堆各若幹個物品，兩個人輪流同時從一到兩堆中取同樣多的物品，規定每次至少取一個，最後取光者得勝
結論：
先手必敗態的兩堆石子之差依次遞增，且每個自然數僅出現一次，先手必敗態為\((0,0),(1,2),(3,5),(4,7),(6,10),(8,13)...\)

3.尼姆博弈（Nim Game）

問題：\(n\)堆石子兩人輪流在任意一堆中取任意石子，不能不取，最多取完，取到最後一顆石子者勝
結論：\(n\)堆石子數量異或和為\(0\)則先手必敗否則必勝
Nim遊戲代表了所有平等博弈問題！！

4.Nim 遊戲擴展

問題：每次最多丟\(k\)個石子，其余規則同\(Nim\)
結論：每堆石子數量\(\%(k+1)\)後再求異或和

5.Nim k 博弈

問題：一次最多在\(k\)堆中取，其余規則同\(Nim\)
結論：把石子數二進制拆開，每位求和後\(\%(k+1)\)

6.階梯博弈

問題：有\(n\)堆石子放在\(n\)層階梯上，兩人輪流選擇一層的若幹石子，放入下一層（特別地，選擇\(1\)層的石子就被扔掉），無法操作者輸
結論：奇數層石子的數量異或和為\(0\)則先手必敗否則必勝

7.Anti-SG（反Nim遊戲）

問題：取走最後一顆石子者敗，其余規則同\(Nim\)
結論：
當且僅當以下情況先手必勝
1.整個遊戲\(SG=0\)並且沒有單一遊戲\(SG>1\)
2.整個遊戲\(SG>0\)並且至少一個單一遊戲\(SG>1\)
通過下圖來理解（QAQ之前畫錯了，更嚴謹證明請見賈誌豪的論文）

8.Multi-SG

問題：
結論：

9.Every-SG

問題：
結論：

10.翻硬幣遊戲

問題：
結論：

11.樹上刪邊遊戲

問題：
結論：

12.無向圖刪邊遊戲

問題：
結論：

13.動態減法問題

問題：
結論：

14.匹配的應用

問題：
結論：

博弈學習筆記（未完成）