一、康托展開

問題：{1,2,3,4,5}5個數的全排列中，{2,3,1,5,4}排字典序的第幾位？

解決：計算{2,3,1,5,4}的康托展開值：x=a[1]*4!+a[2]*3!+a[3]*2!+a[4]*1!+a[5]*0!=1*24+1*6+0*2+1*1+0*0=31, 所以{2,3,1,5,4}排字典序第32位

解釋：計算{2,3,1,5,4}排第幾位，就要計算比{2,3,1,5,4}字典序小的排列有幾個，而這個就是{2,3,1,5,4}的康托展開值，要如何計算呢，其實很簡單：

首先看序列中第一個數2，1~5中比2小的數有1個，因此這就可以生成1*4！個比{2,3,1,5,4}小的序列，即{1,x,x,x,x}

再看第二個數3，1~5(除去2)中比3小的數有1個，因此又可以有1*3！個比{2,3,1,5,4}小的序列，即{2,2,x,x,x}

再看第三個數1，1~5(除去2,3)中比1小的數有0個，因此又有0*2！個比{2,3,1,5,4}小的序列

再看第四個數5，1~5(除去2,3,1)中比5小的數有1個，因此又有1*1！個比{2,3,1,5,4}小的序列，即{2,3,1,4,x}

最後一個數4，1~5(除去2,3,1,5)中比4小的數有0個，因此又有0*0！個比{2,3,1,5,4}小的序列

綜上，比{2,3,1,5,4}小的序列共有x=1*4!+1*3!+0*2!+1*1!+0*0!=31個，所以{2,3,1,5,4}排字典序32位

二、逆康托展開

問題：{1,2,3,4,5}的全排列中，字典序排23位的排列是哪一個？

解決：由康托展開值x=a[1]*4!+a[2]*3!+a[3]*2!+a[4]*1!+a[5]*0!=22，逆推出a[1]=22/4!=0,a[2]=22/3!=3,a[3]=4/2!=2,a[4]=0/1!=0,a[5]=0/0!=0,可知，字典序排23位的排是{1,5,4,2,3}

解釋：

三、應用

[學習][Math]康托展開和逆康托展開