Description

《集合論與圖論》這門課程有一道作業題，要求同學們求出{1, 2, 3, 4, 5}的所有滿足以 下條件的子集：若 x 在該子集中，則 2x 和 3x 不能在該子集中。同學們不喜歡這種具有枚舉性 質的題目，於是把它變成了以下問題：對於任意一個正整數 n≤100000，如何求出{1, 2,..., n} 的滿足上述約束條件的子集的個數（只需輸出對 1,000,000,001 取模的結果），現在這個問題就 交給你了。

Input

只有一行，其中有一個正整數 n，30%的數據滿足 n≤20。

Output

僅包含一個正整數，表示{1, 2,..., n}有多少個滿足上述約束條件 的子集。

Sample Input

4

Sample Output

8

【樣例解釋】

有8 個集合滿足要求，分別是空集，{1}，{1，4}，{2}，{2，3}，{3}，{3，4}，{4}。

Solution

考慮構造這樣一個矩陣
\[ \begin{bmatrix} x & 3x & 9x & 27x & \cdots & \\ \2x & 6x & 18x & 54x & \cdots & \\ \4x & 12x & 36x & 108x & \cdots & \\ \8x & 24x & 72x & 216x & \cdots & \\ \\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\\end{bmatrix} \]

#include<bits/stdc++.h>
#define ui unsigned int
#define ll long long
#define db double
#define ld long double
#define ull unsigned long long
const int MAXN=100000+10,Mod=1e9+1;
int n,G[20],cnt,p[MAXN],vis[MAXN];
ll f[20][2000],ans;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
    T data=0,w=1;
    char ch=0;
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
    if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
    x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char ch='\0')
{
    if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
    if(ch!='\0')putchar(ch);
}
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
inline ll qexp(ll a,ll b)
{
    ll res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)res=res*a%Mod;
        a=a*a%Mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
inline bool check(int st)
{
    return (st&(st<<1))||(st&(st>>1));
}
inline ll solve(ll x)
{
    memset(G,0,sizeof(G));
    int w=0,h=0;
    while(x*qexp(2,w)<=n)++w;
    while(x*qexp(3,h)<=n)++h;
    for(register int i=1;i<=w;++i)
        for(register int j=1;j<=h;++j)
            if(qexp(2,i-1)*qexp(3,j-1)*x<=n)vis[qexp(2,i-1)*qexp(3,j-1)*x]=1,G[i]|=(1<<h-j);
    cnt=0;
    for(register int st=0;st<(1<<h);++st)
        if(!check(st))p[++cnt]=st;
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(register int i=1;i<=w;++i)
        for(register int j=1;j<=cnt;++j)
            if((p[j]|G[i])==G[i])
            {
                if(i==1)f[i][j]++;
                else
                    for(register int k=1;k<=cnt;++k)
                        if((p[k]|G[i-1])==G[i-1]&&!(p[j]&p[k]))(f[i][j]+=f[i-1][k])%=Mod;
            }
    ll res=0;
    for(register int i=1;i<=cnt;++i)
        if((p[i]|G[w])==G[w])(res+=f[w][i])%=Mod;
    return res;
}
int main()
{
    read(n);ans=1;
    for(register int i=1;i<=n;++i)
        if(!vis[i])ans=1ll*ans*solve(i)%Mod;
    write(ans,'\n');
    return 0;
}
 

【刷題】BZOJ 2734 [HNOI2012]集合選數