[BZOJ5109]大吉大利，晚上吃雞！

題目大意：

一張\(n(n\le5\times10^4)\)個點\(m(m\le5\times10^4)\)條邊的無向圖，節點編號為\(1\)到\(n\)，邊權為正整數。給定\(S\)和\(T\)，顯然從\(S\)到\(T\)的最短路有一種或多種方案。

選擇\(A,B\)兩個點，約定\(A\)點和\(B\)點必須滿足：

1. 所有可能路徑中，必定會經過\(A\)點和\(B\)點中的任意一點；
2. 所有可能路徑中，不存在一條路徑同時經過\(A\)點和\(B\)點。

求滿足上面兩個條件的\(A,B\)點對有多少個，交換\(A,B\)的順序算相同的方案。

思路：

首先用Dijkstra求出最短路網絡，顯然這是一個DAG。

在DAG上DP求出一個點到\(S/T\)的方案數，將它們相乘即為經過這個點的路徑數，記作\(F(i)\)。我們同樣也可以用bitset求出經過這個點的路徑上可能經過的點，記作\(S(i)\)。

而題目所求的\(A\)和\(B\)相當於需要滿足以下兩個條件：

1. \(F(A)+F(B)=F(T)\)；
2. \(A\notin F(B)\)且\(B\notin F(A)\)。

顯然枚舉\(A\)和\(B\)會超時，由於\(F(A)+F(B)=F(T)\)。我們可以開一個map<int,bitset>保存\(F(B)=F(T)-F(A)\)的可能的\(B\)。

此時我們只需要枚舉\(A\)，然後在map

源代碼：

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<climits>
#include<functional>
#include<tr1/unordered_map>
#include<ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
inline int getint() {
    register char ch;
    while(!isdigit(ch=getchar()));
    register int x=ch^'0';
    while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
    return x;
}
typedef long long int64;
const int N=5e4+1,M=5e4;
struct Edge2 {
    int u,v,w;
};
Edge2 edge[M];
struct Edge3 {
    int to,w;
};
std::vector<Edge3> e3[N];
inline void add_edge(const int &u,const int &v,const int &w) {
    e3[u].push_back((Edge3){v,w});
    e3[v].push_back((Edge3){u,w});
}
bool vis[N];
int n,m,s,t,ind[N],ind2[N],outd[N];
int64 diss[N],dist[N],f[N],g[N],ans;
struct Vertex {
    int id;
    int64 d;
    bool operator > (const Vertex &rhs) const {
        return d>rhs.d;
    }
};
inline void dijkstra(const int &s,int64 dis[]) {
    static __gnu_pbds::priority_queue<Vertex,std::greater<Vertex> > q;
    static __gnu_pbds::priority_queue<Vertex,std::greater<Vertex> >::point_iterator p[N];
    for(register int i=1;i<=n;i++) {
        p[i]=q.push((Vertex){i,dis[i]=i==s?0:LLONG_MAX});
    }
    while(!q.empty()&&q.top().d!=LLONG_MAX) {
        const int x=q.top().id;
        q.pop();
        for(register unsigned i=0;i<e3[x].size();i++) {
            const int &y=e3[x][i].to,&w=e3[x][i].w;
            if(dis[x]+w<dis[y]) {
                q.modify(p[y],(Vertex){y,dis[y]=dis[x]+w});
            }
        }
    }
    q.clear();
}
std::vector<int> e[N],e4[N];
inline void add_edge(const int &u,const int &v) {
    e[u].push_back(v);
    e4[v].push_back(u);
    ind[v]++;
    ind2[v]++;
    outd[u]++;
}
std::queue<int> q;
std::bitset<N> b[N];
inline void kahn2() {
    q.push(t);
    g[t]=1;
    while(!q.empty()) {
        const int &x=q.front();
        for(register unsigned i=0;i<e4[x].size();i++) {
            const int &y=e4[x][i];
            g[y]+=g[x];
            if(!--outd[y]) q.push(y);
        }
        q.pop();
    }
}
inline void kahn() {
    q.push(s);
    f[s]=1;
    while(!q.empty()) {
        const int &x=q.front();
        b[x][x]=true;
        for(register unsigned i=0;i<e[x].size();i++) {
            const int &y=e[x][i];
            b[y]|=b[x];
            f[y]+=f[x];
            if(!--ind[y]) q.push(y);
        }
        q.pop();
    }
}
inline void kahn3() {
    q.push(s);
    while(!q.empty()) {
        const int &x=q.front();
        b[0][x]=true;
        b[x]=b[0]^b[x];
        for(register unsigned i=0;i<e[x].size();i++) {
            const int &y=e[x][i];
            if(!--ind2[y]) q.push(y);
        }
        q.pop();
    }
}
std::tr1::unordered_map<int64,std::bitset<N> > map;
int main() {
    n=getint(),m=getint(),s=getint(),t=getint();
    for(register int i=0;i<m;i++) {
        const int u=getint(),v=getint(),w=getint();
        edge[i]=(Edge2){u,v,w};
        add_edge(u,v,w);
    }
    dijkstra(s,diss);
    if(diss[t]==LLONG_MAX) {
        printf("%lld\n",(int64)n*(n-1)/2);
        return 0;
    }
    dijkstra(t,dist);
    for(register int i=1;i<=n;i++) e3[i].clear();
    for(register int i=0;i<m;i++) {
        int u=edge[i].u,v=edge[i].v,w=edge[i].w;
        if(diss[u]>diss[v]) std::swap(u,v);
        if(diss[u]+w+dist[v]==diss[t]) {
            add_edge(u,v);
            vis[u]=vis[v]=true;
        }
    }
    int cnt=0;
    for(register int i=1;i<=n;i++) cnt+=!vis[i];
    kahn2();
    kahn();
    kahn3();
    for(register int i=1;i<=n;i++) {
        if(vis[i]) map[f[i]*g[i]][i]=true;
    }
    for(register int i=1;i<=n;i++) {
        if(!vis[i]) continue;
        if(map.count(f[t]-f[i]*g[i])) ans+=(map[f[t]-f[i]*g[i]]&b[i]).count();
        if(f[i]*g[i]==f[t]) ans+=cnt;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}
 

[BZOJ5109]大吉大利，晚上吃雞！