前綴和與差分比較常用，也算是必須掌握的方法。主要用於對區間數據的查詢處理。

在一維當中，前綴和就是指從某個元素開始一直到首個元素的和，差分是指每個元素與前一元素的差（首個元素即為本身）。

在二維裏面，設一個N*M的矩陣，起點（左上角）為(1,1)，終點右下角為(N,M)。則(i,j)的前綴和為以(1,1)為起點，以(i,j)為終點的矩形內所有元素的和；(i,j)的差分則是(i,j)-(i,j-1)-(i-1,j)+(i-1,j-1)。

比較有意思的是前綴和的差分和差分的前綴和即為各個元素。

前綴和主要用於區間求和，初始化復雜度為O(n)，每次查詢僅為O(1)。差分主要用於區間增加和單點查詢，區間增加復雜度僅為O(1)，單點查詢相當於求差分數組的前綴和，復雜度為O(n)。區間增加，對於一維來說，要給[i,j]這個區間的每個元素加x，只需要令pre[i]+=x，pre[j+1]-=x即可（pre就是差分數組）。對於二維來說，要將(i,j,k,l)這個矩形內的每個元素都加x，則令pre[i,j]+=x，pre[i-1,l]-=x，pre[k,j-1]-=x，pre[k,l]+=x。

前綴和與差分一般並不單獨考察，而是作為一種數據處理方式與其他知識點一起考察。

比如NOIP2012 借教室：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1083

前綴和與差分