Solution

?　　雖然說這題有點強行但是感覺還是挺妙的，給你通項讓你反推數列的這種==有點毒

??　　補檔時間

?　　首先有一個東西叫做特征方程，我們可以用這個東西來求二階線性遞推數列的通項：

??　　對於數列\(\{x_n\}\)，遞推公式為\(x_n=a_1x_{n-1}-a_2x_{n-2}\)，那麽這個數列的特征方程為:
\[ x^2-a_1x+a_2=0 \]
?　　如果說這個方程有兩個相異的根\(p,q\)，那麽：
\[ \begin{aligned} A&=\frac{x_2-qx_1}{p(p-q)}\B&=\frac{px_1-x_2}{q(p-q)}\x_n&=Ap^n+Bq^n \end{aligned} \]

?　　然後我們看回這題

??　　有個奇奇怪怪的條件：$b^2< = d<(b+1)^2 $，這個條件說明什麽呢？會發現因為這個條件所以\(0>=\frac{b-\sqrt d}{2}>-0.5\)

??　　但是我們要求的是\(\lfloor(\frac{b+\sqrt d}{2})^n\rfloor\)，那麽這個時候我們會發現。。其實我們把這個式子稍微變一下變成：

??　　為什麽變成這樣呢？首先前面那個東西，我們會發現其實就是。。用特征方程中有相異兩根求出的通項式的類似形式，所以我們只要令這兩個根為\((\lfloor \frac{b+\sqrt d}{2}\rfloor)^n\)和\((\lfloor \frac{b-\sqrt d}{2}\rfloor)^n\)就好了，然後\(A\)和\(B\)這兩個系數要為\(1\)，這樣我們就可以求出\(x_1\)

?　　然後這個時候如果是要求那個式子的下取整的話我們直接判斷一下\(\frac{b-\sqrt d}{2}\)是否大於等於\(1\)即可，會發現只有在\(n\)是偶數並且\(b^2\neq d\)的情況下減去這個部分會導致整體的下取整少一，特判一下就好了

??　　至於前半部分直接矩陣快速冪求出\(x_n\)即可

??　　然後最後還有一個小問題，就是。。這個模數有點令人難受

?　　這個時候我們需要。。一個小技巧來處理一下加法和乘法：加法的話直接就先減去一個模數然後如果小於\(0\)再加上模數，乘法的話就像快速冪一樣處理就好了

?　　

?　　代碼大概長這個樣子

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
const ll MOD=7528443412579576937;
ll add(ll x,ll y){
    ll tmp=-MOD+x+y;
    if (tmp<0) tmp+=MOD;
    return tmp;
}
ll mul(ll x,ll y){
    ll ret=0;
    for (;y;y>>=1,x=add(x,x))
        if (y&1) ret=add(ret,x);
    return ret;
}
struct Mtrix{/*{{{*/
    ll a[2][2];
    void init(){memset(a,0,sizeof(a));}
    void setUnit(){for (int i=0;i<2;++i) for (int j=0;j<2;++j) a[i][j]=i==j;}
    friend Mtrix operator * (Mtrix x,Mtrix y){
        Mtrix ret;
        for (int i=0;i<2;++i)
            for (int j=0;j<2;++j){
                ret.a[i][j]=0;
                for (int k=0;k<2;++k)
                    ret.a[i][j]=add(ret.a[i][j],mul(x.a[i][k],y.a[k][j]));
            }
        return ret;
    }
}ori,ret,base,ans;/*}}}*/
ll n,m,Ans,d,b;
void ksm(ll y){
    ret.setUnit(); base=ori;
    for (;y;y>>=1,base=base*base)
        if (y&1) ret=ret*base;
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("a.in","r",stdin);
#endif
    scanf("%lld%lld%lld\n",&b,&d,&n);
    if (n==0){printf("1\n");return 0;}
    ori.init();
    ori.a[1][1]=b;ori.a[0][1]=-(b*b-d)/4;
    ori.a[1][0]=1;
    ans.init();
    ans.a[0][0]=b; ans.a[0][1]=(b*b+d)/2;
    if (n>=2) 
        ksm(n-2),ans=ans*ret;
    if (n==1) Ans=ans.a[0][0];
    else Ans=ans.a[0][1];
    if (b*b!=d&&n%2==0) Ans=add(Ans,MOD-1);
    printf("%lld\n",Ans);
}

?

【bzoj4002】有意義的字符串