向量和矩陣的各種範數比較（1範數、2範數、無窮範數等等

一、向量的範數

首先定義一個向量為：a=[-5，6，8, -10]

1.1 向量的1範數

向量的1範數即：向量的各個元素的絕對值之和，上述向量a的1範數結果就是：29，MATLAB代碼實現為：norm（a，1）；

1.2 向量的2範數

向量的2範數即：向量的每個元素的平方和再開平方根，上述a的2範數結果就是：15，MATLAB代碼實現為：norm（a，2）；

1.3 向量的無窮範數

1.向量的負無窮範數即：向量的所有元素的絕對值中最小的：上述向量a的負無窮範數結果就是：5，MATLAB代碼實現為：norm（a，-inf）；
2…向量的正無窮範數即：向量的所有元素的絕對值中最大的：上述向量a的負無窮範數結果就是：10，MATLAB代碼實現為：norm（a，inf）；

二、矩陣的範數

首先我們將介紹數學中矩陣的範數的情況，也就是無論哪個學科都統一的一種規定。。。
例如矩陣A = [ -1 2 -3；
4 -6 6]

2.1 矩陣的1範數

矩陣的1範數即：矩陣的每一列上的元素絕對值先求和，再從中取個最大的，（列和最大），上述矩陣A的1範數先得到[5,8,9]，再取最大的最終結果就是：9，MATLAB代碼實現為：norm（A，1）；

2.2 矩陣的2範數

矩陣的2範數即：矩陣ATAATAA^{T}A的最大特征值開平方根，上述矩陣A的2範數得到的最終結果是：10.0623，MATLAB代碼實現為：norm（A，2）；

2.3 矩陣的無窮範數

矩陣的1範數即：矩陣的每一行上的元素絕對值先求和，再從中取個最大的，（行和最大），上述矩陣A的1範數先得到[6；16]，再取最大的最終結果就是：16，MATLAB代碼實現為：norm（A，inf）；

接下來我們要介紹機器學習的低秩，稀疏等一些地方用到的範數，一般有核範數，L0範數，L1範數（有時很多人也叫1範數，這就讓初學者很容易混淆），L21範數（有時也叫2範數），F範數。。。上述範數都是為了解決實際問題中的困難而提出的新的範數定義，不同於前面的矩陣範數。

2.4 矩陣的核範數

矩陣的核範數即：矩陣的奇異值（將矩陣svd分解）之和，這個範數可以用來低秩表示（因為最小化核範數，相當於最小化矩陣的秩——低秩），上述矩陣A最終結果就是：10.9287， MATLAB代碼實現為：sum(svd(A))

2.5 矩陣的L0範數

矩陣的L0範數即：矩陣的非0元素的個數，通常用它來表示稀疏，L0範數越小0元素越多，也就越稀疏，上述矩陣A最終結果就是：6

2.6 矩陣的L1範數

矩陣的L1範數即：矩陣中的每個元素絕對值之和，它是L0範數的最優凸近似，因此它也可以表示稀疏，上述矩陣A最終結果就是：22，MATLAB代碼實現為：sum(sum(abs(A)))

2.7 矩陣的F範數

矩陣的F範數即：矩陣的各個元素平方之和再開平方根，它通常也叫做矩陣的L2範數，它的有點在它是一個凸函數，可以求導求解，易於計算，上述矩陣A最終結果就是：10.0995，MATLAB代碼實現為：norm（A，‘fro’）

2.8 矩陣的L21範數

矩陣的L21範數即：矩陣先以每一列為單位，求每一列的F範數（也可認為是向量的2範數），然後再將得到的結果求L1範數（也可認為是向量的1範數），很容易看出它是介於L1和L2之間的一種範數，上述矩陣A最終結果就是：17.1559，MATLAB代碼實現為： norm(A(:,1),2) + norm(A(:,2),2) + norm(A(:,3),2)

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