「SDFZ聽課筆記」二分圖&&網絡流
二分圖？
- 不存在奇環（長度為奇數的環）的圖
- 節點能黑白染色，使得不存在同色圖相連的圖
這兩個定義是等價噠。
直觀而言，就是這樣的圖：
二分圖有一些神奇的性質，讓一些在一般圖上復雜度飛天的問題可以在正常時間得到解。（這就是我們研究它的原因鴨！）
然後是一些可能會用到的定義（確實用到了 還搞得人一頭懵逼QAQ
- 匹配：圖中邊的一個子集，使這些邊沒有公共頂點。
當邊數最大化的時候，稱這個邊集為一組最大匹配。
- 獨立集：圖中點的一個子集，使點的導出子圖中不存在邊。
人話：選一些點，使得中間任意兩個點之間沒有邊
- 覆蓋：點的集合，使每條邊至少跟子集中一個點關聯。
人話：讓圖中的每條邊至少有一個頂點在集合裏。
- 支配集：一個神奇的點集，使每個點要麽處於集合之中，要麽和集合中至少一點關聯
（被支配的恐懼
才講完預備知識！驚不驚喜？！意不意外？！
求匹配的算法：
- 匈牙利算法
時間復雜度$O(NM)$，空間用鄰接矩陣是$O(N^2)$，可以用鄰接表優化。
我吹爆這個教會了我們全組的教程！！！
- Dinic
時間復雜度$O(m\sqrt{n})$。
比匈牙利難碼難理解，但是應用範圍廣多了（最大流算法
（會了這個還學什麽匈牙利
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—這裏有一大段不知所雲感覺沒什麽luan用的Hall定理—
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König 定理
這個名字上風騷的兩點讓人忍不住覺得naïve。
這個定理就是講了二分圖的最大匹配，最大獨立集
首先設圖的點數為N，最大匹配的大小為C
那麽有最小覆蓋=C，最大獨立集=N-C
證明：
首先我們知道最小覆蓋和最大獨立集是對偶問題。
（把最小覆蓋的點刪掉，剩下來的就是最大獨立集啦
然後就只要證明最小覆蓋=最大匹配了
不證了，當結論記叭。（懶
其實是不會證。
EG1
有一個$n*m$的棋盤，其中有一些格子裏有怪。
每次操作，可以選擇一行或一列攻擊，消滅這一行/列的所有怪。
求最少需要幾次打掉所有怪。(1e5)
首先建一個二分圖，左邊$n$個點，代表行；右邊$m$個點，代表列。
設這個怪所在的坐標為$(i,j)$，則把左邊第$i$個點和右邊第$j$個點連起來。
然後求一個最小覆蓋就行啦。
EG2
有一個$n*m$的棋盤，其中有些格子放了馬。
你要去掉一些馬，使它們不能相互攻擊。
求留下的馬的最大值。(1e5)
因為馬走日,所以如果兩個格子能夠相互攻擊，也就意味著這兩個格子不同色。
所以沖突必然在黑白兩色之間。（陰陽之戰，一觸即發！
建二分圖，一邊黑，一邊白，如果沖突就連邊。
最後求最大獨立集就行了。
——————To be continued——————
14/40 怎麽還有這麽多張PPT？！！！（氣哭
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