洛谷試煉場-簡單數學問題

B--P1045 麥森數

Description

形如2^P?1的素數稱為麥森數，這時P一定也是個素數。但反過來不一定，即如果PP是個素數，2^P-1
不一定也是素數。到1998年底，人們已找到了37個麥森數。最大的一個是P=3021377P=3021377，它有909526位。麥森數有許多重要應用，它與完全數密切相關。

任務：從文件中輸入PP（1000<P<31000001000<P<3100000），計算2^P-1 的位數和最後500位數字（用十進制高精度數表示）

Input

共三行。
文件中只包含一個整數P（1000<P<3100000）

Output

第一行：十進制高精度數2^P-1的位數。

第2-11行：十進制高精度數2^P-1的最後500位數字。（每行輸出50位，共輸出10行，不足500位時高位補0）

不必驗證2^P-1 與P是否為素數。

Sample Input

5
3
1 2 3 4 5

Sample Output

386
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000104079321946643990819252403273640855
38615262247266704805319112350403608059673360298012
23944173232418484242161395428100779138356624832346
49081399066056773207629241295093892203457731833496
61583550472959420547689811211693677147548478866962

Hint

noip2003普及組

題解：

這個題首先求麥森數的位數。
（1）我們知道，對於一個十進制數n來說log10（n）位其位數，現在求2^P-1的位數，因為2^P的末尾數一定不為0，那麽2^P-1與2^P位數相同，則其位數為log10（2^P），這樣計算也頗為麻煩。
（2）我們不妨設k=2^p ，根據10^n 的位數為n+1 ，我們只要想辦法把k=2^p中的底數2改為10，指數加一就是位數了。由此想到用10的幾次方來代替2，那麽就不難想到10^(log10(2)=2) ，這樣便可以把 中的2代換掉，變為 。根據乘方的原理，將p乘進去，原式便可化為我們最終想要的形式了，所以位數就是log10(2)*p+1 。（提醒一下，C++中cmath庫自帶log10()函數...）

代碼

#include <iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
int p;
int f[1001],res[1001],sav[1001];//乘法開兩倍
void big_pow_1()
{
    memset(sav,0,sizeof(sav));
    for(int i=1;i<=500;++i)//保存最後500位
        for(int j=1;j<=500;++j)
        sav[i+j-1]+=res[i]*f[j];//先計算每一位的值
        for(int i=1;i<=500;++i)
        {
            sav[i+1]+=sav[i]/10;//單獨處理進位問題
            sav[i]%=10;
        }
        memcpy(res,sav,sizeof(res));//sav賦給res
}
void big_pow_2()
{
    memset(sav,0,sizeof(sav));
    for(int i=1;i<=500;++i)
        for(int j=1;j<=500;++j)
        sav[i+j-1]+=f[i]*f[j];
    for(int i=1;i<=500;i+=1)
    {
        sav[i+1]+=sav[i]/10;
    sav[i]%=10;
    }
    memcpy(f,sav,sizeof(f));

}
void quick_big_pow()//快速冪模板
{
    //高精度賦初值
    res[1]=1;//底數
    f[1]=2; //指數
    while(p!=0)
    {
        if(p%2==1)big_pow_1();
        p/=2;
        big_pow_2();
    }
}
int main()
{
    cin>>p;
    cout<<(int)(log10(2)*p+1)<<endl;
    quick_big_pow();
   res[1]-=1;
   for(int i=500;i>=1;i--)
   {
       if(i!=500&&(i-1)%50==0)cout<<sav[i]<<endl;
       else cout<<sav[i];
   }
    return 0;
}

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