優化算法系列之模擬退火算法（1）——0-1背包問題

1問題描述

有一個竊賊在偷竊一家商店時發現有N件商品：第i件物品價值v_i元，重w_i磅，其中v_i、w_i都是整數。他希望帶走的東西越值錢越好，但他的背包小，最多只能裝下W磅的東西（W為整數）。如果每件物品或被帶走或被留下，小偷應該帶走哪幾件東西？

2解空間

設xi表示第i件物品的取舍，1代表取，0代表舍，搜索空間為n元一維數組（x1,x2,x3,.....,xn）。因而解空間的取值範圍可表示為（0，0，0，....，0），（0，0，0，......，1），（0，0，0，......，1，0），......，（1,1,1,1，......，1）。

以3個物品為例，解（0,1,0）表示（不取物品0，取物品1，不取物品2）。

3問題轉化

給定W>0，wi>0，vi>0，要求找出一個n元的0-1向量（x1,x2,x3,......,xn），使得所取物品價值最大且重量之和小於W。

4求解結果

假設物品共10件，

其質量分別為8 12 24 16 6 9 35 21 18 19，

其價值分別為34 32 56 67 54 32 45 56 46 70，

背包能承受的最大質量為50。

根據模擬退火算法，通過MATLAB軟件編程求得：

5求解代碼

clc

clear all

close all

a=0.95;%溫度衰減速度

mar_length=1000;%馬氏鏈長度

k=[34 32 56 67
 
 54 32 45 56 46 70];%物品價值

d=[8 12 24 16 6 9 35 21 18 19];%物品重量

restriction=50;%背包能夠承受的最大重量

num=length(k);%物品數量

sol_new=round(rand(1,num));%隨機生成初始解

E_current=inf;E_best=inf;%E_current是當前解對應的目標函數，E_best是最優解，E_new是新解的目標函數值

t0=97;tf=3;t=t0;

while t>tf

    for i=1:mar_length

        %產生隨機擾動

        temp1
 
=ceil(rand*num);

        sol_new(1,temp1)=~sol_new(1,temp1);

        %檢查是否滿足約束

        while (1)

            s=(sol_new*d‘>restriction);

            if s

                %如果不滿足約束隨機放棄一個物品

                temp2=find(sol_new==1);

                temp3=ceil(rand*length(temp2));

                sol_new(temp2(temp3))=~sol_new(temp2(temp3));

            else

                break

            end

        end

        %計算背包中物品的價值模擬退火算法只能求最小值，所以價值取負

        E_new=sol_new*(-k‘);

        if E_new<E_current

            E_current=E_new;

            sol_current=sol_new;

            if E_new<E_best

                E_best=E_new;

                sol_best=sol_new;

            end

        else

            if (rand<exp(-(E_new-E_current)./t))

                 E_current=E_new;

                 sol_current=sol_new;

            else

                 sol_new=sol_current;

            end

        end

    end

    t=t*a;

end

disp(‘最優解為‘)

sol_best

disp(‘物品總價值為‘)

-E_best

disp(‘背包中物品總重量‘)

sol_best*d‘

摘錄網站：

　　1. https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzI5OTU4NTMwNQ==&mid=2247483792&idx=1&sn=c92c179896cecc45c8efc614863e2bf9&chksm=ec951be6dbe292f0027ddc877ecd3f910df724d9b6be336e0f5b07b70c9cb55920518994ed7b&scene=21#wechat_redirect

　　2.https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzI5OTU4NTMwNQ==&mid=2247483794&idx=1&sn=530432054310d33bab8d81d49af2236e&chksm=ec951be4dbe292f28fcdc5f5f2771ae4a446e4a319b60ce0073b20975c2e20b49a91d514d1c6&scene=21#wechat_redirect

　　3. https://blog.csdn.net/AI_BigData_wh/article/details/77943787?locationNum=2&fps=1

優化算法系列-模擬退火算法（1）——0-1背包問題