【二維樹狀數組】【CF10D】 LCIS
阿新 • • 發佈：2018-10-23
chan wap 傳送門 樹狀 lcis tdi swa long long code
傳送門
Description
給你兩個串，求他們的最長公共上升子序列
Input
第一行是第一個串的長度\(n\)
第二行\(n\)個數代表第一個串
第三行是第二個串的長度\(m\)
第四行\(m\)個數代表第二個串
Output
輸出最長子序列的長度以及方案
Hint
\(For~All:\)
\(0~\leq~n~\leq~500\)
Solutoin
先考慮樸素DP，可以設\(f_{i,j}\)代表第一個串選前\(i\)個，第二個串選前\(j\)個的答案，轉移顯然\(f_{i,j}=\max\{f_{k,h}\}+1\),其中\(k~<~i,j~<~h,A_i=B_j,A_k=B_h\)
考慮把這個問題放到一個串上，問題變成了求一個串的LIS，我口胡了一個十分鬼畜的算法：讀入離散化以後，設\(f_i\)為當前算到的以\(i\)這個數結尾的ans，註意這裏\(i\)是代表的是一個位置的值而不是下標。於是當正著掃描的時候，轉移顯然\(f_i=\max\{f_j\}+1\)，其中\(j~<~i\)。發現\(f_i\)是從\(f_j\)的前綴\(\max\)轉移過來的。於是可以使用樹狀數組維護這個前綴\(\max\)。具體的，\(f_i=ask(i-1)+1\)，然後在樹狀數組上修改\(i\)位置的\(f_i\)。
考慮一共枚舉\(n\)個位置，樹狀數組復雜度是\(O(logn)\)
在這裏放上一個串的樹狀數組LIS代碼
#include<cmath> #include<cstdio> #include<algorithm> #define rg register #define ci const int #define cl const long long int typedef long long int ll; namespace IO { char buf[300]; } template <typename T> inline void qr(T &x) { rg char ch=getchar(),lst=' '; while((ch > '9') || (ch < '0')) lst=ch,ch=getchar(); while((ch >= '0') && (ch <= '9')) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar(); if(lst == '-') x=-x; } template <typename T> inline void qw(T x,const char aft,const bool pt) { if(x < 0) {putchar('-');x=-x;} rg int top=0; do { IO::buf[++top]=x%10+'0'; } while(x/=10); while(top) putchar(IO::buf[top--]); if(pt) putchar(aft); } template <typename T> inline T mmax(const T a,const T b) {return a > b ? a : b;} template <typename T> inline T mmin(const T a,const T b) {return a < b ? a : b;} template <typename T> inline T mabs(const T a) {return a < 0 ? -a : a;} template <typename T> inline void mswap(T &a,T &b) { T _temp=a;a=b;b=_temp; } const int maxn = 100010; int n; int MU[maxn],tree[maxn],frog[maxn],temp[maxn]; int ask(int); void init_hash(); void change(int,ci); inline int lowbit(ci x) {return x&(-x);} int main() { qr(n); for(rg int i=1;i<=n;++i) {qr(MU[i]);temp[i]=MU[i];} init_hash(); for(rg int i=1;i<=n;++i) { frog[MU[i]]=ask(MU[i]-1)+1; change(MU[i],frog[MU[i]]); } qw(n-ask(n),'\n',true); return 0; } void init_hash() { std::sort(temp+1,temp+1+n); int *ed=std::unique(temp+1,temp+1+n); for(rg int i=1;i<=n;++i) MU[i]=std::lower_bound(temp+1,ed,MU[i])-temp; } int ask(int x) { int _ans=0; while(x) { _ans=mmax(_ans,tree[x]); x-=lowbit(x); } return _ans; } void change(int x,ci v) { while(x <= n) { tree[x]=mmax(tree[x],v); x+=lowbit(x); } }
回到這個題，我們可以仿照一個串的方式，再加一個維度，設\(f_{i,j}\)第一個串算到當前以\(i\)這個數結尾，第二個串以第\(j\)個位置結尾的\(ans\)。註意這裏\(i\)代表的A串的值，\(j\)代表的是\(b\)串的下標。於是轉移顯然\(f_{i,j}=\max\{f_{k,h}\}+1\)，其中\(k~<~i,h<j\)。於是發現\(i,j\)由一個矩形的前綴最大值轉移過來，可以用二維樹狀數組維護這個最大值。這樣復雜度降為\(O(n^2log^2n)\)，可以通過本題。
這裏的一個姿勢是二維樹狀數組，他可以維護一個矩形的二維前綴和或前綴最大值。查詢代碼為
Zay ask(ci x,ci y) {
rg Zay _ret;
for(rg int i=x;i;i-=lowbit(i)) {
for(rg int j=y;j;j-=lowbit(j)) {
_ret=mmax(_ret,tree[i][j]);
}
}
return _ret;
}修改代碼為
void add(ci x,ci y) {
Zay _tp=Zay(x,y);
for(rg int i=x;i<=tcnt;i+=lowbit(i)) {
for(rg int j=y;j<=tcnt;j+=lowbit(j)) {
tree[i][j]=mmax(tree[i][j],_tp);
}
}
}更一般的，修改代碼中_tp可以改為一個傳進來的參數代表要修改位置的值。
於是這個題就完了。
Code
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define rg register
#define ci const int
#define cl const long long int
typedef long long int ll;
namespace IO {
char buf[300];
}
template <typename T>
inline void qr(T &x) {
rg char ch=getchar(),lst=' ';
while((ch > '9') || (ch < '0')) lst=ch,ch=getchar();
while((ch >= '0') && (ch <= '9')) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
if(lst == '-') x=-x;
}
template <typename T>
inline void qw(T x,const char aft,const bool pt) {
if(x < 0) {putchar('-');x=-x;}
rg int top=0;
do {
IO::buf[++top]=x%10+'0';
} while(x/=10);
while(top) putchar(IO::buf[top--]);
if(pt) putchar(aft);
}
template <typename T>
inline T mmax(const T &a,const T &b) {return a > b ? a : b;}
template <typename T>
inline T mmin(const T a,const T b) {return a < b ? a : b;}
template <typename T>
inline T mabs(const T a) {return a < 0 ? -a : a;}
template <typename T>
inline void mswap(T &a,T &b) {
T _temp=a;a=b;b=_temp;
}
const int maxn = 1010;
const int maxd = 1010;
int n,m,tcnt;
int a[maxn],b[maxn],MU[maxd],frog[maxd][maxd],remap[maxd];
struct Zay {
int x,y;
inline bool operator<(const Zay &_others) const {
return frog[this->x][this->y] < frog[_others.x][_others.y];
}
inline bool operator>(const Zay &_others) const {
return frog[this->x][this->y] > frog[_others.x][_others.y];
}
Zay (ci _a=0,ci _b=0) {x=_a,y=_b;}
};
Zay tree[maxd][maxd],pre[maxn][maxn],ans;
Zay ask(ci,ci);
void init_hash();
void add(ci,ci);
void dfs(ci,ci);
inline int lowbit(ci x) {return x&(-x);}
int main() {
qr(n);
for(rg int i=1;i<=n;++i) {qr(a[i]);MU[++tcnt]=a[i];}
qr(m);
for(rg int i=1;i<=m;++i) {qr(b[i]);MU[++tcnt]=b[i];}
init_hash();
for(rg int i=1;i<=n;++i) {
for(rg int j=1;j<=m;++j) if(a[i] == b[j]) {
Zay _temp=ask(a[i]-1,j-1);
frog[a[i]][j]=frog[_temp.x][_temp.y]+1;
pre[a[i]][j]=_temp;
add(a[i],j);
ans=mmax(ans,(Zay){a[i],j});
}
}
qw(frog[ans.x][ans.y],'\n',true);
dfs(ans.x,ans.y);
return 0;
}
void init_hash() {
std::sort(MU+1,MU+1+tcnt);
int *ed=std::unique(MU+1,MU+1+tcnt);
rg int k;
for(rg int i=1;i<=n;++i) k=std::lower_bound(MU+1,ed,a[i])-MU,remap[k]=a[i],a[i]=k;
for(rg int i=1;i<=m;++i) k=std::lower_bound(MU+1,ed,b[i])-MU,remap[k]=b[i],b[i]=k;
}
Zay ask(ci x,ci y) {
rg Zay _ret;
for(rg int i=x;i;i-=lowbit(i)) {
for(rg int j=y;j;j-=lowbit(j)) {
_ret=mmax(_ret,tree[i][j]);
}
}
return _ret;
}
void add(ci x,ci y) {
Zay _tp=Zay(x,y);
for(rg int i=x;i<=tcnt;i+=lowbit(i)) {
for(rg int j=y;j<=tcnt;j+=lowbit(j)) {
tree[i][j]=mmax(tree[i][j],_tp);
}
}
}
void dfs(ci x,ci y) {
if(!y) return;
dfs(pre[x][y].x,pre[x][y].y);
qw(remap[b[y]],' ',true);
}Summary
二維樹狀數組查詢和修改的操作。
【二維樹狀數組】【CF10D】 LCIS