二分查找（Binary Search）的思想非常簡單，但看似越簡單的東西往往越難掌握好，想要靈活運用就更加困難。

1. 二分查找的思想？

生活中二分查找的思想無處不在。一個最常見的就是猜數遊戲，我隨機寫一個 0 到 99 的數，然後你來猜我寫的是什麽。猜的過程中，我會告訴你每次是猜大了還是猜小了，直到猜中為止。假如我寫的數是 23，猜數過程如下所示。

最多只需要 7 次就猜出來了，這個過程是很快的。同理，要查找某個數據是否在給定的數組中，我們同樣也可以利用這個思想。

二分查找針對的是一個有序的數據集合，查找思想有點類似於分治，每次都通過和中間元素進行比較，將待查找區間縮小為之前的一半，直到找到要查找的元素或者區間縮小為 0 為止。

2. 二分查找的時間復雜度？

我們假設數據大小為 n，每次查找數據大小都會縮小為原來的一半，最壞情況下，直到查找區間縮小為空時停止查找。

若經過 k 次區間縮小最後變為空，則 $\frac{n}{2^k} = 1, k = log_2n$，所以二分查找的時間復雜度為 $O(logn)$。

這種對數時間復雜度的算法是一種非常高效的算法，有時候甚至比時間復雜度為常量級的算法還要高效。因為常量級的時間復雜度對應的常數可能非常大，比如 O(100), O(1000)，因此這些算法有時候可能還沒有 $O(logn)$ 的算法執行效率高。

2. 簡單二分查找的算法實現？

循環法

float Binary_Search(float data[], int left, int right, float value)
{
    while (left <= right)
    {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (value == data[mid])
        {
            return mid;
        }
        else if (value < data[mid])
        {
            right = mid - 1;
        }
        else
        {
            left = mid + 1;
        }
    }

    return -1;
}
 

遞歸法

float Binary_Search(float data[], int left, int right, float value)
{
    if (left <= right)
    {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (value == data[mid])
        {
            return mid;
        }
        else if (value < data[mid])
        {
           return Binary_Search(data, left, mid-1, value);
        }
        else
        {
            return Binary_Search(data, mid+1, right, value);
        }
    }

    return -1;
}
 

註意事項

• 循環退出條件 left <= right
• mid = left + ((right-left) >> 1)，用移位運算優化計算性能
• left 和 right 的更新分別是 mid+1 和 mid-1

3. 二分查找的應用場景？

二分查 找依賴的是順序表結構，也就是數組，需要能夠按照下標隨機訪問元素。

二分查找針對的是有序數據，如果數據無序，需要先進行排序。而如果有頻繁的插入、刪除操作，則每次查找前都需要再次排序，這時候，二分查找將不再適用。

數據量太小可以直接遍歷查找，沒有必要用二分查找。但如果數據之間的比較操作非常耗時，比如數據為長度超過 300 的字符串，則不管數據量大小，都推薦使用二分查找。

而如果數據量過大，則意味著我們需要用非常大的連續內存空間來存儲這些數據，內存開銷可能無法滿足。

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數據結構和算法之——二分查找上