題目

最近 \(\text{lxhgww}\) 又迷上了投資股票，通過一段時間的觀察和學習，他總結出了股票行情的一些規律。

通過一段時間的觀察，\(\text{lxhgww}\) 預測到了未來 \(T\) 天內某只股票的走勢，第 \(i\) 天的股票買入價為每股 \(ap_i\)，第 \(i\) 天的股票賣出價為每股 \(bp_i\)（數據保證對於每個 \(i\)，都有 \(ap_i \geq bp_i\)），但是每天不能無限制地交易，於是股票交易所規定第 \(i\) 天的一次買入至多只能購買 \(as_i\) 股，一次賣出至多只能賣出 \(bs_i\) 股。

另外，股票交易所還制定了兩個規定。為了避免大家瘋狂交易，股票交易所規定在兩次交易（某一天的買入或者賣出均算是一次交易）之間，至少要間隔 \(w\)

在第 \(1\) 天之前，\(\text{lxhgww}\) 手裏有一大筆錢（可以認為錢的數目無限），但是沒有任何股票，當然，\(T\) 天以後，\(\text{lxhgww}\) 想要賺到最多的錢，聰明的程序員們，你們能幫助他嗎？

分析

設 \(f(i,j)\) 代表第 \(i\) 持有 \(j\) 股的最大收益。
\[ f(i,j) = \max\left\{ \begin{array}{} \max_{k = 1}^{as_i} f(i - w - 1,j - k) - ap_i\times k \\max_{k = 1}^{bs_i} f(i - w - 1,j + k) + bp_i\times k \f(i - 1,j) \end{array} \right. \]

以只買入的 \(\max_{k = 1}^{as_i} f(i - w - 1,j - k) - ap_i\times k\) 看，我們發現我們要查詢的 \(f\) 總是一段連續的區間，但是若使用單調隊列維護 \(f\) ，\(ap_i\times k\) 又很惡心。

但是我們通過觀察，對於每個 \(ap_i\times k\) 和 \(bp_i \times k\) 所影響到的要查詢的 \(f\) ，若 \(j + 1\) ，則它們都會同時加上 \(ap_i\) 或 \(-bp_i\)。

比如原先的 \(f(i - w - 1, j) - ap_i,\ f(i - w - 1, j - 1) - 2ap_i,\cdots,f(i - w - 1, j + k) - ap_i\times k\)

當區間右移一次時，它們的影響變成了：$f(i - w - 1, j - 1) - ap_i,?f(i - w - 1, j - 2) - 2ap_i,\cdots $

所以，當要查詢的區間右移一次時，它們的相對大小關系是不會改變的，我們可以對原 \(\rm dp\) 式進行變換來更好的運用這個性質。

以買入為例，\(\max_{k = 1}^{as_i} f(i - w - 1,j - k) - ap_i\times k\)，若令 \(p = j - k\)，則變為：
\[ \begin{array}{} & \max_{p = j - 1}^{j - as_i} f(i - w - 1,p) - ap_i\times (j - p) \\ = & \max_{p = j - 1}^{j - as_i} ( f(i - w - 1,p) + ap_i\times p ) - ap_i\times j \end{array} \]
這麽一來，\(f\) 與 \(ap_i\) 就有了一一對應的關系，可以很容易的利用單調隊列優化。

同理，賣出也可以這樣處理，變式為 \(\max_{p = j + 1}^{j + bs_i} (f(i - w - 1,p) + bp_i\times p) - bp_i\times j\)。

接下來就是常規的單調隊列優化，時間復雜度為 \(\Theta (n ^ 2)\)。

代碼

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 2000 + 5, inf = 0x3f3f3f3f;

int f[MAXN][MAXN], ap[MAXN], bp[MAXN], as[MAXN], bs[MAXN], w, t, maxp;

struct monQue {
    pair<int, int> data[MAXN];
    int head, tail;

    void clear() {head = 0, tail = 0;}
    bool empty() {return tail <= head;}
    void push(pair<int, int> x) {
        while(!empty() && data[tail - 1] <= x) tail--;
        data[tail++] = x;
    }
    void pop() {head++;}
    pair<int, int> front() {return data[head];}
} sell, buy;

int main() {
    memset(f, ~0x3f, sizeof(f));
    scanf("%d%d%d", &t, &maxp, &w);
    for(int i = 1; i <= t; i++)
        scanf("%d%d%d%d", &ap[i], &bp[i], &as[i], &bs[i]);
    for(int i = 1; i <= t; i++) {
        buy.clear(); sell.clear();
        for(int j = 0; j <= maxp; j++) {
            f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j]);
            if(j <= as[i]) f[i][j] = max(-ap[i] * j, f[i][j]);
            if(i - w - 1 <= 0) continue;
            if(j) {
                while(!buy.empty() && buy.front().second < j - as[i]) buy.pop();
                buy.push(make_pair(f[i - w - 1][j - 1] + ap[i] * (j - 1), j - 1));
                f[i][j] = max(buy.front().first - ap[i] * j, f[i][j]);
            }
        }
        if(i - w - 1 <= 0) continue;
        for(int j = maxp - 1; j >= 0; j--) {
            while(!sell.empty() && sell.front().second > j + bs[i]) sell.pop();
            sell.push(make_pair(f[i - w - 1][j + 1] + bp[i] * (j + 1), j + 1));
            f[i][j] = max(sell.front().first - bp[i] * j, f[i][j]);
        }
    }
    int ans = -inf;
    for(int i = 0; i <= maxp; i++) {
        ans = max(f[t][i], ans);
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

後記

終於把這個坑填上了。。

【SCOI 2010】股票交易