差分拘束介紹、總結與例題

阿新 • • 發佈：2018-10-28

end push 規模 mem 矛盾需要 vector -c swap

差分約束的具體概念：

如果一個系統由n個變量和m個約束條件組成，形成m個形如ai-aj≤k的不等式(i,j∈[1,n],k為常數),則稱其為差分約束系統。

例子：

假設有3個數a，b，c
我們知道：

a-b>=2
b-c>=3
a-c>=3

那麽：a與c的差值最小為多少？

a比b至少大2，b比c至少大3，那a比c就至少大5。

這很容易理解。

但是如果不等式很多呢？

100個數？1000個數？10000個數……

我們從一開始的例子開始考慮。

我們把這想象成一個圖。每個不等式就是一條有向邊。
那麽：

技術分享圖片

是不是發現跑一下最長路就可以了？

沒錯，差分拘束就是用了這個原理。

一般差分拘束問題都可以轉化為最短(長)路問題。

問題解的存在性：

1.無解：

比如a-b>=2,b-a>=1,這樣就自相矛盾了。

如果連成圖，就會發現這是一個負環。

2.無法確定：

比如只給a-b>=2，就無法判斷a與c的關系。

連成圖後表現為：a與c不連通。

不等式組的轉化：

對於題目中的不等式，一般只有轉成相同符號才方便處理。

a-b>=t → b-a<=-t
a-b<t → b-a<=t-1
a-b=t → a-b<=t && a-b>=t

根據情況，按上面所說轉化。

例題：

1.LUOGU P1250 種樹

題目描述

一條街的一邊有幾座房子。因為環保原因居民想要在路邊種些樹。路邊的地區被分割成塊，並被編號成1..N。每個部分為一個單位尺寸大小並最多可種一棵樹。每個居民想在門前種些樹並指定了三個號碼B，E，T。這三個數表示該居民想在B和E之間最少種T棵樹。當然，B≤E，居民必須記住在指定區不能種多於區域地塊數的樹，所以T≤E-B+l。居民們想種樹的各自區域可以交叉。你的任務是求出能滿足所有要求的最少的樹的數量。

寫一個程序完成以下工作：

輸入輸出格式

輸入格式：

第一行包含數據N，區域的個數(0<N≤30000)；

第二行包含H，房子的數目(0<H≤5000)；

下面的H行描述居民們的需要：B E T，0<B≤E≤30000，T≤E-B+1。

輸出格式：

輸出文件只有一行寫有樹的數目

輸入輸出樣例

輸入樣例#1：

輸出樣例#1：

題解：

#include<bits/stdc++.h>
#pragma GCC optimize(3)
namespace ZDY{
    #define res register
    #define ri res int
    #define ll long long
    #define db double
    #define sht short
    #define il inline
    #define MB template <class T>
    #define Fur(i,x,y) for(ri i=x;i<=y;i++)
    #define fur(i,x,y) for(i=x;i<=y;i++)
    #define Fdr(i,x,y) for(ri i=x;i>=y;i--)
    #define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
    #define cpy(x,y) memcpy(x,y,sizeof(x))
    #define fl(i,x) for(ri i=head[x],to;to=e[i].to,i;i=e[i].nxt)
    #define inf 2147483630
    #define fin(s) freopen(s".in","r",stdin)
    #define fout(s) freopen(s".out","w",stdin)
    #define l2(n) (ceil(log2(n)))
    #define fast ios::sync_with_stdio(false)
    MB il T ABS(T x){return x>0?x:-x;}
    MB il T MAX(T x,T y){return x>y?x:y;}
    MB il T MIN(T x,T y){return x<y?x:y;}
    MB il T GCD(T x,T y){return y?GCD(y,x%y):x;}
    MB il void SWAP(T x,T y){T t=x;y=t;x=y;}
}using namespace ZDY;using namespace std;
#define N 30010

struct edge{int to,nxt,w;}e[N*2+5010];
int head[N],cnt=0,n,m,d[N];
bool v[N];
struct cmp{bool operator()(int a,int b){return d[a]<d[b];}};
priority_queue<int,vector<int>,cmp>q;
il void add(int x,int y,int w){e[++cnt].to=y;e[cnt].w=w;e[cnt].nxt=head[x];head[x]=cnt;}
il void spfa(){
    int x;
    q.push(0);
    while(!q.empty()){
        x=q.top();q.pop();v[x]=0;
        fl(i,x)
        if(d[x]+e[i].w>d[to]){
            d[to]=d[x]+e[i].w;
            if(!v[to])q.push(to),v[to]=1;
        }
    }
}
int main(){
    fast;
    cin>>n>>m;
    int x,y,w;
    Fur(i,1,m)cin>>x>>y>>w,add(x-1,y,w);
    Fur(i,0,n){
        if(i!=0)add(i-1,i,0),d[i]=-inf;
        if(i!=n)add(i,i-1,-1);
    }
    spfa();
    cout<<d[n];
}

2.LUOGU P1645 序列

題目描述

有一個整數序列，它的每個數各不相同，我們不知道它的長度是多少（即整數個數），但我們知道在某些區間中間至少有多少個整數，用區間（Li,Ri,Ci）來描述，表示這個整數序列中至少有Ci個數來自區間[Li,Ri]，給出若幹個這樣的區間，問這個整數序列的長度最少能為多少？

輸入輸出格式

輸入格式：

第一行一個整數N，表示區間個數；

接下來N行，每行三個整數（Li,Ri,Ci），描述一個區間。

【數據規模】

N<=1000，0<=Li<=Ri<=1000,1<=Ci<=Ri-Li+1

輸出格式：

僅一個數，表示該整數序列的最小長度。

輸入輸出樣例

輸入樣例#1：

輸出樣例#1：

題解：

#include<bits/stdc++.h>
#pragma GCC optimize(3)
namespace ZDY{
    #define res register
    #define ri res int
    #define ll long long
    #define db double
    #define sht short
    #define il inline
    #define MB template <class T>
    #define Fur(i,x,y) for(ri i=x;i<=y;i++)
    #define fur(i,x,y) for(i=x;i<=y;i++)
    #define Fdr(i,x,y) for(ri i=x;i>=y;i--)
    #define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
    #define cpy(x,y) memcpy(x,y,sizeof(x))
    #define fl(i,x) for(ri i=head[x],to;to=e[i].to,i;i=e[i].nxt)
    #define inf 2147483630
    #define fin(s) freopen(s".in","r",stdin)
    #define fout(s) freopen(s".out","w",stdin)
    #define l2(n) (ceil(log2(n)))
    #define fast ios::sync_with_stdio(false)
    MB il T ABS(T x){return x>0?x:-x;}
    MB il T MAX(T x,T y){return x>y?x:y;}
    MB il T MIN(T x,T y){return x<y?x:y;}
    MB il T GCD(T x,T y){return y?GCD(y,x%y):x;}
    MB il void SWAP(T x,T y){T t=x;y=t;x=y;}
}using namespace ZDY;using namespace std;
#define N 1011

struct edge{int to,nxt,w;}e[N*3];
int head[N],cnt=0,n=0,m,d[N];
bool v[N];
struct cmp{bool operator()(int a,int b){return d[a]<d[b];}};
priority_queue<int,vector<int>,cmp>q;
il void add(int x,int y,int w){e[++cnt].to=y;e[cnt].w=w;e[cnt].nxt=head[x];head[x]=cnt;}
il void spfa(){
    int x;
    q.push(0);
    while(!q.empty()){
        x=q.top();q.pop();v[x]=0;
        fl(i,x)
        if(d[x]+e[i].w>d[to]){
            d[to]=d[x]+e[i].w;
            if(!v[to])q.push(to),v[to]=1;
        }
    }
}
int main(){
    fast;
    cin>>m;
    int x,y,w;
    Fur(i,1,m)cin>>x>>y>>w,add(x-1,y,w),n=MAX(n,y);
    Fur(i,0,n){
        if(i!=0)add(i-1,i,0),d[i]=-inf;
        if(i!=n)add(i,i-1,-1);
    }
    spfa();
    cout<<d[n];
}

3.[SCOI2011]糖果

題目描述

幼兒園裏有N個小朋友，lxhgww老師現在想要給這些小朋友們分配糖果，要求每個小朋友都要分到糖果。但是小朋友們也有嫉妒心，總是會提出一些要求，比如小明不希望小紅分到的糖果比他的多，於是在分配糖果的時候，lxhgww需要滿足小朋友們的K個要求。幼兒園的糖果總是有限的，lxhgww想知道他至少需要準備多少個糖果，才能使得每個小朋友都能夠分到糖果，並且滿足小朋友們所有的要求。

輸入輸出格式

輸入格式：

輸入的第一行是兩個整數N，K。接下來K行，表示這些點需要滿足的關系，每行3個數字，X，A，B。如果X=1，表示第A個小朋友分到的糖果必須和第B個小朋友分到的糖果一樣多；如果X=2，表示第A個小朋友分到的糖果必須少於第B個小朋友分到的糖果；如果X=3，表示第A個小朋友分到的糖果必須不少於第B個小朋友分到的糖果；如果X=4，表示第A個小朋友分到的糖果必須多於第B個小朋友分到的糖果；如果X=5，表示第A個小朋友分到的糖果必須不多於第B個小朋友分到的糖果；

輸出格式：

輸出一行，表示lxhgww老師至少需要準備的糖果數，如果不能滿足小朋友們的所有要求，就輸出-1。

輸入輸出樣例

輸入樣例#1：

輸出樣例#1：

說明

【數據範圍】

對於30%的數據，保證 N<=100

對於100%的數據，保證 N<=100000

對於所有的數據，保證 K<=100000，1<=X<=5，1<=A, B<=N

題解：

#include<bits/stdc++.h>
#pragma GCC optimize(3)
namespace ZDY{
    #define res register
    #define ri res int
    #define ll long long
    #define db double
    #define sht short
    #define il inline
    #define MB template <class T>
    #define Fur(i,x,y) for(ri i=x;i<=y;i++)
    #define fur(i,x,y) for(i=x;i<=y;i++)
    #define Fdr(i,x,y) for(ri i=x;i>=y;i--)
    #define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
    #define cpy(x,y) memcpy(x,y,sizeof(x))
    #define fl(i,x) for(ri i=head[x],to;to=e[i].to,i;i=e[i].nxt)
    #define inf 2147483630
    #define fin(s) freopen(s".in","r",stdin)
    #define fout(s) freopen(s".out","w",stdin)
    #define l2(n) (ceil(log2(n)))
    #define fast ios::sync_with_stdio(false)
    MB il T ABS(T x){return x>0?x:-x;}
    MB il T MAX(T x,T y){return x>y?x:y;}
    MB il T MIN(T x,T y){return x<y?x:y;}
    MB il T GCD(T x,T y){return y?GCD(y,x%y):x;}
    MB il void SWAP(T x,T y){T t=x;y=t;x=y;}
}using namespace ZDY;using namespace std;
#define N 100010

struct edge{int to,nxt,w;}e[N*3];
int head[N],cnt=0,n=0,m,d[N],t[N];
bool v[N];
struct cmp{bool operator()(int a,int b){return d[a]<d[b];}};
priority_queue<int,vector<int>,cmp>q;
il void add(int x,int y,int w){e[++cnt].to=y;e[cnt].w=w;e[cnt].nxt=head[x];head[x]=cnt;}
il void spfa(){
    int x;
    q.push(0);
    while(!q.empty()){
        x=q.top();q.pop();v[x]=0;if(++t[x]>n){cout<<-1<<endl;exit(0);}
        fl(i,x)
        if(d[x]+e[i].w>d[to]){
            d[to]=d[x]+e[i].w;
            if(!v[to])q.push(to),v[to]=1;
        }
    }
}
int main(){
    fast;
    cin>>n>>m;
    int p,x,y;
    ll ans=0;
    Fur(i,1,m){
        cin>>p>>x>>y;
        if(p==1)add(x,y,0),add(y,x,0);
        if(p==2)add(x,y,1);
        if(p==3)add(y,x,0);
        if(p==4)add(y,x,1);
        if(p==5)add(x,y,0);
    }
    Fur(i,1,n)add(0,i,1);
    spfa();
    Fur(i,1,n)ans+=d[i];
    cout<<ans<<endl;
}

差分拘束介紹、總結與例題

end push 規模 mem 矛盾需要 vector -c swap 差分約束的具體概念：如果一個系統由n個變量和m個約束條件組成，形成m個形如ai-aj≤k的不等式(i,j∈[1,n],k為常數),則稱其為差分約束系統。例子：假設有3個數a，b，c 我們知道：

差分拘束介紹、總結與例題

差分約束的具體概念：

例子：

我們從一開始的例子開始考慮。

問題解的存在性：

1.無解：

2.無法確定：

不等式組的轉化：

例題：

題目描述

輸入輸出格式

輸入輸出樣例

題解：

題目描述

輸入輸出格式

輸入輸出樣例

題解：

題目描述

輸入輸出格式

輸入輸出樣例

說明

題解：

相關推薦