#有限元方法簡單的二維算例（矩形剖分）

算例描述

我們對下述橢圓邊值問題 \label{eq1} $\{\begin{array}{cc}{\displaystyle }& {\displaystyle -}\end{array}$

Δ u = f

u ∣ ∂ Ω

= 0 \left \{ \begin{aligned} & -\Delta u = f\\ & u|_{\partial \Omega} = 0 & \end{aligned} \right.
其中， $\Omega = (0,1)^2$且 $f=2\pi^2\text{sin}\pi x\text{sin}\pi y$。考慮其變分問題，對其變分問題有限元離散並求解，並驗證其為一階收斂。
注：問題的真解為 $u(x) = \text{sin}\pi x\text{sin}\pi y$。

變分問題

$\forall v \in H_0^1$，乘([eq1])式兩邊，使用格林公式，利用邊界條件，易得\label{eq2}：
$\int _\Omega \nabla u \nabla v dx = \int _\Omega fv dx$
其中 $f$為方程中的右端項。令\label{eq3}

$\begin{aligned} &a(u,v) = \int _\Omega \nabla u \nabla v dx & \\ &f(v) = \int _\Omega fv dx & \end{aligned}$

容易證明，原問題([eq1])等價於變分問題: \label{eq4} $\left \{ \begin{aligned} & \text{求}u \in H_0^1 \text{，使得}\\ & a(u,v) = f(v)&\forall v \in H_0^1 \end{aligned} \right.$
事實上，在一定連續性的要求下，強解為弱解，弱解也是強解，二者等價。故求解問題([eq1])變為了求解問題([eq4])。更一般的變分問題，描述為：\label{eq5}
$\left \{ \begin{aligned} & \text{求}u \in V ,s.t.&\\ & a(u,v) = f(v)&\forall v \in V& \end{aligned} \right.$

有限元離散

問題轉化

我們來考慮上述變分問題的有限維逼近，即構造 $V$的有限維子空間 $V_h \subset V$，考慮如下的離散問題：\label{eq6}
$\left \{ \begin{aligned} & \text{求}u_h \in V_h ,s.t.&\\ & a(u_h,v_h) = f(v_h)&\forall v_h \in V_h& \end{aligned} \right.$
我們用問題([eq6])近似問題([eq5])，後者的解逼近前者的解。所以我們可以通過求([eq6])的解作為近似解。
設 $V_h$空間中的一組基為 $\{\phi_i\}_{i=1}^N$，若 $u_h = \Sigma u_i \phi_i$（為了書寫方便，不加說明，求和指標都為1到N），我們需要求的是組合係數 $u_i$，將 $u_h = \Sigma u_i \phi_i$代入，並依次分別取 $v_h$

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