有限元方法簡單的一維算例

算例描述

我們對下述邊值問題\label{eq1}

{\begin{aligned} u^{″} (x) + u (x) = (1 - π^{2}) sin π x & 0 \leq x \leq 1 \\ u (0) = u (1) = 0 \end{aligned}

$\left \{ \begin{aligned} & u''(x)+u(x) = (1-\pi^2)\text{sin}\pi x & 0\leq x \leq 1\\ & u(0) = u(1) = 0 & \end{aligned} \right.$ 考慮其變分問題，對其變分問題有限元離散並求解，並驗證其收斂階。
注：問題的真解為

u (x) = sin π x

$u(x) = \text{sin}\pi x$ 。

變分問題

$\forall v \in H_0^1$ ，乘([eq1])式兩邊，使用格林公式，利用邊界條件，易得\label{eq2}：

\int_{0}^{1} u^{'} v^{'} + u v d x = \int_{0}^{1} f v d x

$\int _0^1 u'v'+ uv dx = \int _0^1 fv dx$ 其中

f

$f$ 為方程中的右端項。令\label{eq3}

\begin{aligned} a (u, v) = \int_{0}^{1} u^{'} v^{'} + u v d x \\ f (v) = \int_{0}^{1} f v \end{aligned}

$\begin{aligned} &a(u,v) = \int _0^1 u'v'+ uv dx& \\ &f(v) = \int _0^1 fv& \end{aligned}$

容易證明，原問題([eq1])等價於變分問題: \label{eq4}

{\begin{aligned} 求 u \in H_{0}^{1} ，使得 \\ a (u, v) = f (v) & \forall v \in H_{0}^{1} \end{aligned}

$\left \{ \begin{aligned} & \text{求}u \in H_0^1 \text{，使得}\\ & a(u,v) = f(v)&\forall v \in H_0^1 \end{aligned} \right.$
事實上，在一定連續性的要求下，強解為弱解，弱解也是強解，二者等價。故求解問題([eq1])變為了求解問題([eq4])。更一般的變分問題，描述為：\label{eq5}

{\begin{aligned} 求 u \in V, s . t . \\ a (u, v) = f (v) & \forall v \in V \end{aligned}

$\left \{ \begin{aligned} & \text{求}u \in V ,s.t.&\\ & a(u,v) = f(v)&\forall v \in V& \end{aligned} \right.$

有限元離散

問題轉化

我們來考慮上述變分問題的有限維逼近，即構造 $V$ 的有限維子空間 $V_h \subset V$ ，考慮如下的離散問題：\label{eq6}

{\begin{aligned} 求 u_{h} \in V_{h}, s . t . \\ a (u_{h}, v_{h}) = f (v_{h}) & \forall v_{h} \in V_{h} \end{aligned}

$\left \{ \begin{aligned} & \text{求}u_h \in V_h ,s.t.&\\ & a(u_h,v_h) = f(v_h)&\forall v_h \in V_h& \end{aligned} \right.$

我們用問題([eq6])近似問題([eq5])，後者的解逼近前者的解。所以我們可以通過求([eq6])的解作為近似解。
設 $V_h$ 空間中的一組基為 $\{\phi_i\}_{i=1}^N$ ，若 $u_h = \Sigma u_i \phi_i$ （為了書寫方便，不加說明，求和指標都為1到N），我們需要求的是組合係數 $u_i$ ，將 $u_h = \Sigma u_i \phi_i$ 代入，並依次分別取 $v_h$ 為每個基函式，我們可以得到： \label{eq7}

Σ u_{i} a (&

有限元方法入門：有限元方法簡單的一維算例

有限元方法簡單的一維算例

算例描述

變分問題

有限元離散

問題轉化

有限元方法入門：有限元方法簡單的一維算例

有限元方法入門：有限元方法簡單的二維算例（三角形剖分）

有限元方法入門：有限元方法簡單的二維算例（矩形剖分）

模板方法模式 + 觀察者模式 + 簡單工廠模式 + 單例模式實現一個簡單的數據表讀寫

爬蟲簡單入門：第一個簡單爬蟲

WatchKit入門：建立一個簡單的猜數遊戲

Linux 環境下 Java jdk 安裝方法注：此方法為 jdk.bin型別的jdk檔案

℃江讓您從精通到入門：Android Studio 簡單實現ViewPager，可做APP操作提示

Python入門：模擬登入（一）urllib

java基礎（五）：for迴圈和一維陣列

Java技術_每天掌握一種設計模式（003）_使用場景及簡單例項（建立型：工廠方法）

Golang從入門到精通（十一）：Golang方法

Python入門：os部分方法介紹（一）

（一）Python入門-6面向對象編程：04del方法(析構函數)和垃圾回收機制-call方法和可調用對象

（一）Python入門-6面向對象編程：05方法沒有重載-方法的動態性

一、查看Linux內核版本命令（兩種方法）：

潭州課堂25班：Ph201805201 第十一課繼承，多繼承和魔術方法，屬性和方法 (課堂筆記)

頭像上傳方法一：from表單方法二：ajax

angularJS入門小Demo【簡單測試js程式碼的方法】

類方法實現：用python實現一個簡單的單詞本，添加/查找/刪除單詞。

有限元方法入門：有限元方法簡單的一維算例

有限元方法簡單的一維算例

算例描述

變分問題

有限元離散

問題轉化

相關推薦