最後的這幾講很多是介紹一些概念以及應用和複習總結，所以簡單記錄下一下，不再詳細展開。
主要內容有：

• 馬爾可夫矩陣以及傅立葉級數的概念
• 實對稱矩陣以及正定矩陣的介紹
• 相似矩陣的概念
• 正定矩陣的概念

馬爾可夫矩陣

馬爾可夫矩陣（Markov Matrix） ：

• 首先是一個 $n$ 階的方陣（其實在之後的幾講中，討論的都是方陣）
• 方陣中的每個元素都非負
• 每一列元素的和都等於1

馬爾可夫矩陣有兩條重要的性質：

• 一定有有特徵值等於1
• 其餘的所有的特徵值的絕對值都小於1

傅立葉級數

對於一個 $n$ 維的向量 $v$

，如果有一組此空間的標準正交基 $(q_1,q_2,\mathrm{.}$

. . q n ) (q_{1}, q_{2},...q_{n}) ，則這個向量對於這組基的投影可以表示為：
$v = x_{1}q_{1} + x_{2}q_{2}+...+x_{n}q_{n}$
那麼，可歐律一個問題，如果要求的其中某一個分量上的分解量，比如求 $x_{i}$， 那麼可以將上面的式子左右同時乘以 $q_{i}^{T}$，從而得到：
$q_{i}^{T} v= x_{1}q_{i}^{T}q_{1} + x_{2}q_{i}^{T}q_{2} + ...+ x_{i}q_{i}^{T}q_{i} +...+x_{n}q_{i}^{T}q_{n} = x_{i}$
,如果使用 $Q=(q_{1}, q_{2},...q_{n})$，則 $Q$是一個正交陣，則 $(x_{1}, x_{2},..,x_{n})^{T} = Q^{-1}v$。
有了這個方法，再來看傅立葉級數，它的函式表示為：
$f(x) = a_{0} + a_{1}cos(x) + b_{1}sin(x)+a_{2}cos(2x) + b_{2}sin(2x)+....$
這裡可以把每一項看作是空間的一個元素設兩個函式的內積為： $\int_{0 }^{2\pi}f(x)g(x)d(x)$
，可以得到，傅立葉級數中的每兩項都是相互正交的，例如：
$\int_{0}^{2\pi}sin(x)cos(x)d(x) = 0$
，這裡的處理跟上面的很相似，所以給我們的啟發就是，如果我們要求傅立葉級數的某一項係數,a_{i},b_{i}，可以將函式進行投影，例如，求a_{1}:
$\int_{0}^{2\pi}cos(x)f(x)d(x) = a_{0}\int_{0}^{2\pi}cos(x)dx+a_{1}\int_{0}^{2\pi}cos(x)^{2}dx+b_{1}\int_{0}^{2\pi}cos(x)sin(x)dx+....$