保留凸性的方式：一個凸函式在一個隨機變數上的期望仍然是凸函式

阿新 • • 發佈：2018-10-31

設函式 $g$ 是實數範圍內的一個凸函式， $D$ 是一個隨機變數，那麼函式 $G = E_{D} g (y - D)$

G = E_{D} g (y - D)

$G=E_D g(y-D)$ 仍然是一個凸函式。

證明：記 $θ = \bar{θ}$

" role="presentation" style="position: relative;">

θ = \bar{θ}

$\theta=\overline{\theta}$ ,

y

$y$ 與

\bar{y}

$\overline{y}$ 是任意兩個數

\begin{aligned} θ G (y) + \bar{θ} G (\bar{y}) \\ = & θ E_{D} g (y - D) + \bar{θ} E_{D} g (\bar{y} - D) \\ = & E_{D} [θ g (y - D) + \bar{θ} (g \bar{y} - D)] \\ \geq & E_{D} [g (θ y + \bar{θ} \bar{y} - D)] = G (θ y + \bar{θ} \bar{y} - D) ◻ \end{aligned}

$\begin{align} &\theta G(y)+\overline{\theta}G(\overline{y})\nonumber\\ =&\theta E_Dg(y-D)+\overline{\theta}E_Dg(\overline{y}-D)\nonumber\\ =&E_D\left[\theta g(y-D)+\overline{\theta}(g\overline{y}-D)\right]\nonumber\\ \geq &E_D\left[g(\theta y+\overline{\theta}\overline{y}-D)\right]=G(\theta y+\overline{\theta}\overline{y}-D)\nonumber\qquad\Box \end{align}$

保留凸性的方式：一個凸函式在一個隨機變數上的期望仍然是凸函式

設函式 g g g 是實數範圍內的一個凸函式， D D D 是一個隨機變數，那麼函式 G=EDg(y−D)

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