查詢演算法之——符號表（引入篇）
符號表的主要目的是用來儲存鍵值對，也就是將一個鍵和一個值關聯起來，它的主要操作為插入和查詢。
這篇只是為下一篇文章作為拋磚引玉，為不熟悉符號表的朋友做了一個大體的介紹，在文章的結尾列出了符號表的基本操作，有一定了解的朋友可以跳的下一篇文章（二叉查詢樹）。
首先我們必須討論幾個基本問題，這在之後的思想中將會一直用到：
1、重複的鍵
符號表不允許出現重複的鍵，當向表中插入的鍵值對的鍵已經出現在標中，當前加入的鍵值對會覆蓋原有的鍵值對，也就是進行了更新。
2、空鍵或空值
鍵不能為空，這在java機制中會產生異常。我們還規定，值也不能為空。（get（）方法能通過查詢鍵返回其關聯的值，當鍵不存在時get（）方法會返回null）
這個規定有兩個作用：
第一、我們能判斷一個鍵值對是否存在符號表中。
第二、我們可以將null作為put（）的第二個引數來實現刪除操作，
3、刪除操作
刪除操作的實現有兩種思路：即時刪除和延時刪除，延時刪除就是上面提到的，先將其值置位為空，然後在某個時刻刪除所有值為空的鍵。即時刪除也就是立即從表中刪除指定的鍵。（本文中將使用即時刪除）
4、鍵的等價性
鍵可以是任意型別（我們將其設定為泛型），可以是integer，double和string等等，java已經為他們實現了equals（）方法來判斷相等，如果是自定義的鍵，則需要重寫equals（）方法。
下面我們進入正題：
一、無序連結串列中的順序查詢
顧名思義，無序連結串列就是通常意義上的連結串列，只是連結串列的節點被定義為了鍵值對的形式，無序連結串列每次插入操作會在頭部插入一個新節點，而查詢操作是從連結串列的頭部開始一個個地遍歷符號表並使用equals（）方法來進行匹配。這種方法的效率是非常低的（它的查詢操作是線性級別的），查詢第一個鍵需要1次比較，第二個鍵需要2次比較...因此平均比較次數為（1+2+...+n）/n =(n+1)/2~n/2。它無法適用於大型符號表。
1 public class SequentialSearchST<Key, Value> {// 基於無序連結串列
二、有序陣列中的二分查詢
如果能用上二分查詢的思想，我們就能把查詢的效率提升到對數級別（當然前提是陣列有序）
這時插入和查詢演算法都發生了改變，為了讓陣列前提有序，插入時我們會用rank（）方法來確定鍵的位置，再將此位置後的鍵後移一位，最後插入鍵。rank（）返回的是鍵在符號表中排名。在這裡如果鍵存在rank（）將返回鍵在有序陣列中的下標。
在這裡我們用兩個陣列分別儲存鍵值對的鍵和值，同一鍵值對在陣列中的下標是一樣的。
1 public class BinarySearchST<Key extends Comparable<Key>, Value> {// 有序查詢表（基於有序陣列）
2 private Key[] keys;
3 private Value[] vals;
4 private int n = 0;// 用於記錄符號表中鍵值對的個數
5
6 public BinarySearchST(int capacity) {// 動態調整大小
7 keys = (Key[]) new Comparable[capacity];
8 vals = (Value[]) new Object[capacity];
9 }
10
11 public boolean contains(Key key) {
12 if (key == null) {
13 throw new IllegalArgumentException("argument to contains is null");
14 }
15 return get(key) != null;
16 }
17
18 public int size() {
19 return n;
20 }
21
22 public int size(Key lo, Key hi) {
23 if (lo == null) {
24 throw new IllegalArgumentException("first argument to size() is null");
25 }
26 if (hi == null) {
27 throw new IllegalArgumentException("second argument to size() is null");
28 }
29 if (lo.compareTo(hi) > 0) {
30 return 0;
31 }
32 if (contains(hi)) {
33 return rank(hi) - rank(lo) + 1;
34 } else {
35 return rank(hi) - rank(lo);
36 }
37 }
38
39 public Key min() {
40 if (isEmpty()) {
41 throw new NoSuchElementException("called min with empty symbol table");
42 }
43 return keys[0];
44 }
45
46 public Key max() {
47 if (isEmpty()) {
48 throw new NoSuchElementException("called max with empty symbol table");
49 }
50 return keys[n - 1];
51 }
52
53 public Value get(Key key) {
54 if (key == null) {
55 throw new IllegalArgumentException("argument to get is null");
56 }
57 if (isEmpty()) {
58 return null;
59 }
60 int i = rank(key);
61 if (i < n && keys[i].compareTo(key) == 0) {
62 return vals[i];
63 }
64 return null;
65 }
66
67 private int rank(Key key) {// 基於有序陣列的二分查詢（迭代）
68 if (key == null) {
69 throw new IllegalArgumentException("argument to rank is null");
70 }
71 int lo = 0, hi = n - 1;
72 while (lo <= hi) {
73 int mid = lo + (hi - lo) / 2;
74 int cmp = key.compareTo(keys[mid]);
75 if (cmp > 0) {
76 lo = mid + 1;
77 } else if (cmp < 0) {
78 hi = mid - 1;
79 } else {
80 return mid;
81 }
82 }
83 return lo;// 找不到的情況
84 }
85
86 public Iterable<Key> keys() {
87 return keys(min(), max());
88 }
89
90 private Iterable<Key> keys(Key lo, Key hi) {
91 if (lo == null) {
92 throw new IllegalArgumentException("first argument to keys() is null");
93 }
94 if (hi == null) {
95 throw new IllegalArgumentException("second argument to keys() is null");
96 }
97 Queue<Key> queue = new Queue<Key>();
98 if (lo.compareTo(hi) > 0) {
99 return queue;
100 }
101 for (int i = rank(lo); i < rank(hi); i++) {
102 queue.enqueue(keys[i]);
103 }
104 if (contains(hi)) {
105 queue.enqueue(keys[rank(hi)]);
106 //queue.enqueue(hi);
107 }
108 return queue;
109 }
110
111 private boolean isEmpty() {
112 // TODO Auto-generated method stub
113 return n == 0;
114 }
115
116 public void put(Key key, Value val) {
117 if (key == null) {
118 throw new IllegalArgumentException("first argument to put is null");
119 }
120 if (val == null) {
121 delete(key);
122 return;
123 }
124 int i = rank(key);
125 if (i < n && key.compareTo(keys[i]) == 0) {//已有元素進行更新
126 vals[i] = val;
127 return;
128 }
129 for (int j = n; j > i; j--) {//鍵值對後移
130 keys[j] = keys[j-1];
131 vals[j] = vals[j-1];
132 }
133 keys[i] = key;
134 vals[i] = val;
135 n++;
136 }
137
138 public void delete(Key key) {
139 if (key == null) {// 避免空指標錯誤
140 throw new IllegalArgumentException("argument to delete is null");
141 }
142 if (isEmpty()) {
143 return;
144 }
145 int i = rank(key);
146 if (i == n || key.compareTo(keys[i]) != 0) {
147 return;
148 }
149 for (int j = i; j < n - 1; j++) {//元素前移
150 keys[j] = keys[j + 1];
151 vals[j] = vals[j + 1];
152 }
153 n--;
154 keys[n] = null;
155 vals[n] = null;
156 }
157 }
我們預設使用的二分查詢是迭代進行，下面給出遞迴的形式：
1 public int rank(Key key,int lo,int hi) {
2 if(hi<lo) {
3 return lo;
4 }
5 int mid=lo+(hi-lo)/2;
6 int cmp=key.compareTo(keys[mid]);
7 if(cmp<0) {
8 return rank(key,lo,mid-1);
9 }else if(cmp>0) {
10 return rank(key,mid+1,hi);
11 }else {
12 return mid;
13 }
14 }
如果理解了迭代的形式，就能很容易改寫出遞迴了。
用物件的陣列代替兩個平行陣列（求指點）：
定義一個以鍵和值為屬性的物件，用物件陣列來代替兩個平行陣列，由於本人學術不精，未能完成，主要問題是不知如何建立不同型別屬性的泛型陣列（key繼承了comparable而value繼承了object）。在此提出問題，希望高人指點！
1 public class BSST<Key extends Comparable<Key>, Value> {
2 class Item{//內部類
3 Key key;
4 Value val;
5 }
6 private Item[] item;
7 private int n = 0;
8 public BSST(int capacity) {// 動態調整大小
9 item = (Item[]) new Object[capacity];//出現型別轉換錯誤
10 //item = (Item[]) new Comparable[capacity];//出現型別轉換錯誤
11
12 }
13 }
四、符號表的基本操作
符號表的基本操作遠遠不止本文提到的rank（）、put（）、get（）、delete()。下面將他們列出來，瞭解個大概，在下一篇文章中將會一一實現他們。
boolean contains(Key key):判斷key是否存在於符號表中
int size(Key lo,Key hi)：返回lo到hi之間的鍵值對數量
Key min()：返回最小鍵
Key max()：返回最大鍵
Key floor(Key key)：返回小於等於key的最大鍵
Key ceiling(Key key)：返回大於等於key的最小鍵
Key select(int k)：返回排名為k的鍵
Iterable<Key> keys(Key lo,Key hi)：返回一個佇列，包含lo-hi之間的所有鍵（已排序）
rank(select(k))==k ture
select(rank(key))==key ture