第一部分 5.4.1 概率論中的乘法和加法（生日悖論）
由生日悖論想到的....<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />
---第五章主要講概率論的一些內容，概率論我一直學得懵懵懂懂，於是梳理了一下，貼出來與大家分享。
說起概率論，我們往往最先想到的就是兩個概率相乘或兩個概率相加，“且關係”就相乘，“或關係”就相加，它們好像能解決所有問題。
讓我們舉個例子具體來說：
假設有兩個並排放的燈泡A,B
使用一天後，還能正常工作的概率P{Good}為： 1/3
燒燬的概率P {Bad} 為： 2/3
（這裡假設它們的線路是完全獨立的，也就是說一個燒壞的話不會影響另一個）
那麼一天之後，A正常且B也正常的概率就是兩者概率的乘法：
P{A=Good
繼續使用乘法，我們能得出一天後能出現的所有情況，及它們各自的發生概率（這裡用“亮”表示正常，“滅”表示燒燬）：
情景 A B 概率
1. 亮 亮 1/9
2. 亮 滅 2/9
3. 滅 亮 2/9
4. 滅 滅 4/9
這時，若我們要求“只有一盞燈是亮的概率”，顯然它相當與求“情景2或情景3”，那麼我們則用概率的加法運算：
P{2或3} = P{2}+P{3} = 2/9 + 2/9 = 4/9
同樣，“至少有一盞燈是亮的”，“只有A燈是亮的”，“所有燈都是滅的”等等，都可以用同樣辦法歸類為“且關係”和“或關係”，並付諸於概率的乘法和概率的加法。這彷彿更加印證了我們最初說的那句話。
然而，事實有那樣簡單嗎？
答案是否定的。同樣舉個例子來說：
還是上面的已知，換個角度講：A，B滅掉的概率都是2/3，請問“A滅掉或B滅掉”的概率是多少？
這時如果用我們經典的“或關係”理論應該用加法：
P{A=Bad 或 B=Bad} = P{A=Bad} + P{B=Bad} = 2/3 + 2/3 = 4/3
“啊？竟還有這種事？發生的概率竟大於100%？” 您一定會這樣驚歎~ 至少我當時是這樣驚歎的....
這個例子很簡潔的否定了“且關係用乘法，或關係用加法”的普適性。那麼，我們很快想到另一個問題....
在概率論中，到底在什麼情況下使用加法，什麼情況下使用乘法？
“且關係用乘法，或關係用加法”是有道理的，但還需加上更多的限定。因為有些情況，雖然是或關係，卻不能用加法，如上例所示，反之亦然。那麼到底少了哪些限定呢？
這一切都要歸因於....“概率分母”...(“概率分母”是我自己起的名字，它指已知概率的統計物件，也就是其作為分母的實體)
改良定理：
1. 若兩個事件的概率分母相同，並且兩事件是互斥的，那麼它們的或運算（其中任一個發生的概率），用概率的加法運算。其本質是分母相同，所以分子可以相加。
比如我們在第二個例子中提到的四個情景，它們的概率分母都是同一個----所有可能的情景。四個情景是互斥的，也就是最多隻能有一個發生。這時，“情景2或情景3” 其實是同一分母的兩個分子，“有一盞燈是亮的”是兩者的集合，所以是可以相加的。（但注意，因為概率分母相同，這裡“情景2且情景3”是不可以相乘的，它的概率是0）
2. 若兩個事件的概率分母不同，則它們的且運算（同時發生的概率），用概率的乘法運算。其本質是兩個概率分支的樹形疊加。（為了防止出錯我們可以簡單的這樣記：“分母不同是不能直接相加的”）
比如我們舉的第一個例子，A亮的概率1/3 分母是A燈所有可能情景，而B亮的概率1/3分母是B燈所有可能情景，兩者是不同的。所以兩者的且運算可以直接相乘，兩者都亮的概率是1/9。但就如我們第三個例子所示，兩者的或運算是不能直接加的，而應該用第二個例子中的方法，用更多步運算求得。
另外，值得特別指出的就是，在定理2中，涉及到兩事件“獨立/不獨立”的問題，而習慣上這裡“不獨立”就是指“依賴”。即
獨立：P{A 且 B} = P{A} * P{B}
依賴：P{A 且 B} = P{A} * P{B|A}
這裡，如果有依賴關係，一般從字面就能明顯看出（比如，有2/3的顧客購買方便麵後又購買了香腸）。否則就是獨立關係。或者我們可以這樣判斷一下“若P{B}==P{B|A}，就是說B的發生和A的發生沒什麼關係，就是說獨立。否則就會相互依賴，就要稍微注意一下乘法運算是B的概率數值的取值了”