五一期間無聊時想起去年考研複試有一道上機題目當時沒作出來，於是一時興起想重新拾起看看是當時太緊張，還是自己能力不足。然後發現這道題目還真稍微有些難度，相當於一道數獨問題(sudoku)的簡化版。自己想來想去也只能想到兩種演算法，一種是拿剩餘元素做全排列測試，一種是回溯法測試。最後只實現了一個全排列測試的演算法。然後又發現自己要寫一個非遞迴的全排列(permutation)也有難度，想了兩天，也沒搞出來，自我BS了一把，感覺這麼基本的演算法都搞不定，還想參加參加ACM/ICPC什麼的，真是不自量力。後來還是挑戰自我思考失敗，只能上網查了一下，發現組合數學(combinatorics)研究了這個東西，給出很多演算法，照那些演算法實現的話相當容易。

最後搞出來還是有一點成就感，程式碼貼出來：

/* HUST_IPRAI:2008考研複試題 有一個4×4的方陣。要求：每個元素必須是1，2，3，4其中的一個，而且每一行不能重 復，例如不能有2個1等，每一列也不能重複。而且將矩陣分成4個2×2的矩陣，每個小方陣 也不能有重複。 （1），給出方陣，如 1 4 2 3 2 3 4 1 4 1 3 2 3 2 1 4 編一程式，判斷此矩陣是否滿足要求 （2） 有一矩陣 3 ? ? ? ? 2 ? ? ? 4 1 ? ? ? 3 ? 編一程式，求出矩陣其他的元素。 author: MulinB date: 2009-05-01 */ #include <iostream> #include <iomanip> using namespace std; #define MATRIX_WIDTH 4 //矩陣階數 #define SMALL_CELL_WIDTH 2 //小單元格 //列印矩陣 void DisplayMatrix(int matrix[MATRIX_WIDTH][MATRIX_WIDTH]) { cout << "-------------matrix--------------" << endl; for (int i=0; i<MATRIX_WIDTH; i++) { for (int j=0; j<MATRIX_WIDTH; j++) { cout << setw(2) << matrix[i][j] << " "; } cout << endl; } cout << "---------------------------------" << endl; } //檢查是否滿足行、列、每個小陣無重複元素 TODO:演算法效率有待提高 bool VerifyMatrix(int matrix[MATRIX_WIDTH][MATRIX_WIDTH]) { int temp = 0; for (int i=0; i<MATRIX_WIDTH; i++) { for (int j=0; j<MATRIX_WIDTH; j++) { temp = matrix[i][j]; int k = 0; //counter for loops //檢查資料是否合法 if (temp < 1 || temp > MATRIX_WIDTH) return false; //檢查行裡有無重複 for (k=0; k<j; k++) //當前元素之前的元素 { if (matrix[i][k] == temp) return false; } for (k=j+1; k<MATRIX_WIDTH; k++) //當前元素之後的元素 { if (matrix[i][k] == temp) return false; } //檢查列裡有無重複 for (k=0; k<i; k++) //當前元素之前的元素 { if (matrix[k][j] == temp) return false; } for (k=i+1; k<MATRIX_WIDTH; k++) //當前元素之後的元素 { if (matrix[k][j] == temp) return false; } //檢查單元格里有無重複 int cell_pos_i = i / SMALL_CELL_WIDTH; //單元格的位置 int cell_pos_j = j / SMALL_CELL_WIDTH; //單元格的位置 for (int x=cell_pos_i*SMALL_CELL_WIDTH; x<(cell_pos_i+1)*SMALL_CELL_WIDTH; x++) { for (int y=cell_pos_j*SMALL_CELL_WIDTH; y<(cell_pos_j+1)*SMALL_CELL_WIDTH; y++) { if (x==i && y==j) continue; if (matrix[x][y] == temp) return false; } } } } return true; } //small tool function void SwapValue(int& a, int& b) { int temp; temp = a; a = b; b = temp; return; } //填充矩陣不完整元素 bool FillMatrix(int matrix[MATRIX_WIDTH][MATRIX_WIDTH]) { //演算法1：全排列嘗試，可以試出全部答案 int numCounter[MATRIX_WIDTH] = {0}; //用來計數，每個數字應該一共出現MATRIX_WIDTH次 //先統計每個數字出現次數 for (int i=0; i<MATRIX_WIDTH; i++) { for (int j=0; j<MATRIX_WIDTH; j++) { if (matrix[i][j] > 1 && matrix[i][j] < MATRIX_WIDTH) { numCounter[matrix[i][j]-1]++; //該數字的counter加1 continue; //已經填上 } } } //統計待全排列的數字，比如：如果2出現了1次，那麼還有MATRIX_WIDTH-1個2需要排列 int elems[MATRIX_WIDTH*MATRIX_WIDTH] = {0}; //待全排列的數字的容器 int numOfElem = 0; for (int m=0; m<MATRIX_WIDTH; m++) { for (int n=0; n<MATRIX_WIDTH-numCounter[m]; n++) { elems[numOfElem++] = m+1; //加入待排列數字 } } //進行全排列測試 int tempMatrix[MATRIX_WIDTH][MATRIX_WIDTH] = {0}; //用來做輸出的矩陣 //全排列非遞迴演算法: 字典序法,遞增進位制數法,遞減進位制數法,鄰位對換法. //全排列遞迴類演算法：回溯、遞迴、迴圈移位法 /* 字典序法：把升序的排列（當然，也可以實現為降序）作為當前排列開始，然後依次計算當前排列的下一個字典序排列。 對當前排列從後向前掃描，找到一對為升序的相鄰元素，記為i和j（i < j）。 如果不存在這樣一對為升序的相鄰元素，則所有排列均已找到，演算法結束； 否則，重新對當前排列從後向前掃描，找到第一個大於i的元素k，交換i和k，然後對從j開始到結束的子序列反轉，則此時得到的新排列就為下一個字典序排列。 這種方式實現得到的所有排列是按字典序有序的，這也是C++ STL演算法next_permutation的思想。 */ /* 字典序演算法的思想來歷是：嚴格按照從低到高的順序輸出排列。 字典序演算法如下： 設P是1～n的一個全排列:p=p1p2......pn=p1p2......pj-1pjpj+1......pk-1pkpk+1......pn 1）從排列的右端開始，找出第一個比右邊數字小的數字的序號j（j從左端開始計算），即 j=max{i|pi2）在pj的右邊的數字中，找出所有比pj大的數中最小的數字pk，即 k=max{i|pi>pj}（右邊的數從右至左是遞增的，因此k是所有大於pj的數字中序號最大者） 3）對換pj，pk 4）再將pj+1......pk-1pkpk+1pn倒轉得到排列p''=p1p2.....pj-1pjpn.....pk+1pkpk-1.....pj+1，這就是排列p的下一個下一個排列。 例如839647521是數字1～9的一個排列。從它生成下一個排列的步驟如下： 自右至左找出排列中第一個比右邊數字小的數字4 839647521 在該數字後的數字中找出比4大的數中最小的一個5 839647521 將5與4交換 839657421 將7421倒轉 839651247 所以839647521的下一個排列是839651247。 */ //全排列演算法：這裡使用字典序演算法 int elemNewPerm[MATRIX_WIDTH*MATRIX_WIDTH] = {0}; //用來存放每個排列的元素 memcpy(elemNewPerm, elems, sizeof(int)*numOfElem); //初始化為初始序列 int pos_j = 0; int pos_k = 0; int p_k = 0; while (true) { //----------------------------------------- //測試當前排列填入矩陣是否合法 int idxToBeFilled = 0; for (int i=0; i<MATRIX_WIDTH; i++) { for (int j=0; j<MATRIX_WIDTH; j++) { if (matrix[i][j] > 1 && matrix[i][j] < MATRIX_WIDTH) { tempMatrix[i][j] = matrix[i][j]; //拷貝原來元素 } else { tempMatrix[i][j] = elemNewPerm[idxToBeFilled++];//填入待填入的元素 } } } if (VerifyMatrix(tempMatrix) == true) //測試是否符合要求 { DisplayMatrix(tempMatrix); //符合條件，打印出來 cout << "The above matrix is an OK answer!" << endl; } //------------------------------------------- //------------------------------------------- //全排列字典序列演算法 //從右側尋找第一個比右側小的元素j for (pos_j=numOfElem-2; pos_j>=0; pos_j--) { if (elemNewPerm[pos_j] < elemNewPerm[pos_j+1]) break; //找到j } if (pos_j < 0) break; //沒有找到j //尋找j右側比pj大的最小數 p_k = elems[numOfElem-1]; //先令p_k為最大值 pos_k = 0; for (int x=pos_j; x<numOfElem; x++) { if (elemNewPerm[x] > elemNewPerm[pos_j] && elemNewPerm[x] <= p_k) //找比pj大的最小值 { p_k = elemNewPerm[x]; pos_k = x; //找到k } } if (pos_k == 0) break; //沒有找到k //調換pj和pk SwapValue(elemNewPerm[pos_j], elemNewPerm[pos_k]); //翻轉j之後的序列，不包括j for (int y=1; y<=(numOfElem-1-pos_j)/2; y++) { SwapValue(elemNewPerm[pos_j+y], elemNewPerm[numOfElem-y]); } } //TODO: 演算法2：使用棧進行回溯 return true; } int main() { int MatrixToBeFilled[MATRIX_WIDTH][MATRIX_WIDTH] = {{3, 0, 0, 0}, {0, 2, 0, 0}, {0, 4, 1, 0}, {0, 0, 3, 0}}; FillMatrix(MatrixToBeFilled); //解題 return 0; }

執行結果如下：

-------------matrix-------------- 3 1 2 4 4 2 1 3 1 3 4 2 2 4 3 1 --------------------------------- The above matrix is an OK answer! -------------matrix-------------- 3 1 2 4 4 2 1 3 2 3 4 1 1 4 3 2 --------------------------------- The above matrix is an OK answer! -------------matrix-------------- 3 1 4 2 4 2 1 3 1 3 2 4 2 4 3 1 --------------------------------- The above matrix is an OK answer! -------------matrix-------------- 3 4 1 2 1 2 4 3 4 3 2 1 2 1 3 4 --------------------------------- The above matrix is an OK answer! -------------matrix-------------- 3 4 2 1 1 2 4 3 2 3 1 4 4 1 3 2 --------------------------------- The above matrix is an OK answer! -------------matrix-------------- 3 4 2 1 1 2 4 3 4 3 1 2 2 1 3 4 --------------------------------- The above matrix is an OK answer!

把巨集改成9的話，應該可以解決九宮格數獨問題，懶得試，主要是怕不行，沒時間去改……

演算法比較慢，有待改進，可惜大量時間要花在老闆的專案和自己的GRE/TOEFL上，所以沒時間細扣，唉，有悖程式設計師精益求精、鍥而不捨的精神啊，BS一下懶惰的自己……