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JZOJ 5931. 【NOIP2018模擬10.27】氣泡排序

題目

求一個n的全排列的變成 1…n的序列 期望最少交換次數。

題解

實在想不出來,可以找規律。
其實這題不需要找規律。

方法1

第一類斯特林數靈感?
hzj的第一題,序列前n-1個元素只能夠與第n個交換,想到一圈一圈地換。
這裡也是類似的,只不過任意兩個元素都可以交換。
此外,如果a[i]=i了,那麼a[i]不用再和其他元素交換。
考慮n個元素中有多少個圓排列。圓是無序的。
所以可以用第一類斯特林數做。
S [

i ] [ j ] = S [ i 1
] [ j 1 ] + ( i 1
) S [ i 1 ] [ j ] S[i][j]=S[i-1][j-1]+(i-1)*S[i-1][j]
A n s [ n ] = i = 1 n Ans[n]=\sum_{i=1}^{n} ( n i ) (n-i) S [ n ] [ i ] *S[n][i]
如何O(n)?
將第i行的 S [ i ] [ j ] S[i][j] 向右下方移動,則乘的綠色的數是一樣的。
將第i行的 S [ i ] [ j ] S[i][j] 向下移,每個 S [ i ] [ j ] S[i][j] 乘的綠色的數要+1.
相當於加上 ( A n s [ n 1 ] + ( n 1 ) ! ) ( n 1 ) (Ans[n-1]+(n-1)!)*(n-1)
A n s [ n ] = ( A n s [ n 1 ] + ( n 1 ) ! ) ( n 1 ) + A n s [ n 1 ] Ans[n]=(Ans[n-1]+(n-1)!)*(n-1)+Ans[n-1]
本題的答案為 A n s [ n ] / ( n ! ) Ans[n]/(n!)

方法2

考慮序列中有多少個圓。
f [ i ] f[i] 為所有n的全排列的圓的個數之和。
則考慮1號點所在圓的大小,則 f [ i ] = n ! + i = 1 n C ( n 1 , i 1 ) ( i 1 ) ! f [ n i ] f[i]=n!+\sum_{i=1}^nC(n-1,i-1)*(i-1)!*f[n-i]
其中 n ! n! 表示n!個全排列,每個包含1個包含1號點的圓。式子的其他部分表示全排列除了包含1的圓以外的其他圓的個數的總和。
答案為 n f [ n ] n ! n-\frac{f[n]}{n!}

線性求逆元

對於一個奇質數,有:
i n v [ i ] = ( m o m o i ) i n v [ m o % i ] % m o inv[i]=(mo-\lfloor\frac{mo}{i}\rfloor)*inv[mo\%i]\%mo
證明:
a = m o i , b = m o % i a=\lfloor\frac{mo}{i}\rfloor,b=mo\%i
則有 m o = a i + b a i + b 0 ( m o d   m o ) a i b ( m o d   m o ) mo=a*i+b\Rightarrow a*i+b≡0(mod\ mo)\Rightarrow a*i≡-b(mod \ mo)
兩邊同時除以 b i b*i 得,
a i n v [ b ] i n v [ i ] ( m o d   m o ) a i n v [ b ] i n v [ i ] ( m o d   m o ) a*inv[b]≡-inv[i](mod\ mo)\Rightarrow -a*inv[b]≡inv[i](mod\ mo)
所以, ( m o m o i ) i n v [ m o % i ] % m o = i n v [ i ] (mo-\lfloor\frac{mo}{i}\rfloor)*inv[mo\%i]\%mo=inv[i]

程式碼

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 10000020
#define mo 998244353
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
int i,j,k,l,n,m,T;
int jc[N],ny[N],ans[N];
int ksm(int x,int y){
	int rs=1;
	for(;y;y>>=1,x=(1ll*x*x)%mo)if(y&1)rs=(1ll*rs*x)%mo;
	return rs;
}
int pre(){
	int i,j;
	jc[0]=jc[1]=ny[0]=ny[1]=1;
	fo(i,2,N-10)jc[i]=(1ll*jc[i-1]*i)%mo;
	ny[N-10]=ksm(jc[N-10],mo-2);
	fd(i,N-11,2)ny[i]=(1ll*ny[i+1]*(i+1))%mo;
}
int main(){
        pre();
	ans[1]=1;
	fo(i,2,N-9)ans[i]=((1ll*(ans[i-1]+jc[i])%mo*i)%mo+ans[i-1])%mo;
	fo(i,1,N-9)ans[i]=(1ll*ans[i]*ny[i+1])%mo;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
	    scanf("%d",&n);