Description

求
$\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\underset{}{\overset{}{\sum }}$

Solution

將 $lcm$拆開
原式化為
$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n} {ij\over \gcd(i,j)}$
令 $d=\gcd(i,j),i=i/d,j=j/d$
方便起見以下的除法預設為下取整
$=\sum\limits_{d=1}^{n}d\sum\limits_{i=1}^{n\over d}\sum\limits_{j=1}^{n\over d} ij[\gcd(i,j)=1]$

考慮對稱性，有
$=\sum\limits_{d=1}^{n}d\times \left(2\left(\sum\limits_{i=1}^{n\over d}i\sum\limits_{j=1}^{i} j[\gcd(i,j)=1]\right)-1\right)$
（因為1被計算了2次，因此最後要-1）

我們知道，小於等於n且與n互質的數的和是 $φ(n)*n\over 2$（考慮一個小於等於n且與n互質的數i，顯然n-i也與n互質，這樣總共有 $φ(n)\over 2$組）
1除外，小於等於1且與1互質的數的和是1，因此還要加上一個 $1\over 2$
因此又有
$=\sum\limits_{d=1}^{n}d\times \left(2\left(\sum\limits_{i=1}^{n\over d}{φ(i)*i^2\over 2}\right)-1+{1\over 2}\times 2\right)$
$=\sum\limits_{d=1}^{n}d\times \sum\limits_{i=1}^{n\over d}φ(i)\times i^2$

設 $f(n)=φ(n)·n^2$
現在要做的就是求 $f(n)$的字首和 $S(n)$
考慮杜教篩

我們發現 $f*id^2=id^3$（其中 $*$為狄利克雷卷積），即