四元數與旋轉矩陣——SLAM

阿新 • • 發佈：2018-11-04

1. 用四元數表示旋轉時，都是單位四元數。

2. 用四元數表示旋轉時，三維空間的點p(x,y,z)需要表示成虛四元數，即 $p=0<x,y,z>$ 。

3. 四元數導數與角速度之間的關係

$q$ ：表示local座標系到global座標系的旋轉；

$\omega _L$ ：表示物體在區域性座標系下的角速度；

$\omega _G$

：表示物體在全域性座標系的角速度；

$\omega _G= q w_L q^{-1}$

$\dot{p}=\frac{1}{2}q\begin{bmatrix} 0\\\omega_L \end{bmatrix} =\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 0\\\omega_G \end{bmatrix}q$

因為

當 $\Delta \theta\rightarrow 0$ 時，一階泰勒展開，取第一項，則 $cos\frac{\theta}{2} \rightarrow 1,sin \frac{\theta}{2}\rightarrow \frac{\theta}{2}$ ，所以得證。

5. 若 $p_L = q\otimes p_W$ ，四元數的增量 $\delta\theta$ ，求 $p_L$ 對 $\delta\theta$ 的導數 $\rightarrow$ 對四元數的導數

左乘模型： $\frac{\partial p_L}{\partial \delta \theta}=-(R \cdot p_W) \verb|^|$

右乘模型： $\frac{\partial p_L}{\partial \delta \theta}=-R \cdot p_W \verb|^|$

詳細推導請閱讀參考文獻（1），已經參考文獻中的部落格。

參考文獻

（1）Yan-Bin Jia. Quaternion

（2）http://lxlsosi.net/blog/graphics/Lie-Group-Quaterion.html

（3）https://blog.csdn.net/u013236946/article/details/72831380

四元數與旋轉矩陣——SLAM

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