樹狀陣列  重點是在樹狀的陣列

大家都知道二叉樹吧

葉子結點代表A陣列A[1]~A[8]

 .......

現在變形一下

 現在定義每一列的頂端結點C[]陣列 

 如下圖

C[i]代表 子樹的葉子結點的權值之和// 這裡以求和舉例

如圖可以知道

C[1]=A[1];

C[2]=A[1]+A[2];

C[3]=A[3];

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];

C[5]=A[5];

C[6]=A[5]+A[6];

C[7]=A[7];

C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

下面觀察如下圖

將C[]陣列的結點序號轉化為二進位制

1=(001)      C[1]=A[1];

2=(010)      C[2]=A[1]+A[2];

3=(011)      C[3]=A[3];

4=(100)      C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];

5=(101)      C[5]=A[5];

6=(110)      C[6]=A[5]+A[6];

7=(111)      C[7]=A[7];

8=(1000)    C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

對照式子可以發現  C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i]; （k為i的二進位制中從最低位到高位連續零的長度）例如i=8時，k=3;

可以自行帶入驗證;

現在引入lowbit(x) 

lowbit(x) 其實就是取出x的最低位1  換言之  lowbit(x)=2^k  k的含義與上面相同 理解一下

下面說程式碼

1. int lowbit(int t)
2. {
3. return t&(-t);
4. }
5. //-t 代表t的負數 計算機中負數使用對應的正數的補碼來表示
6. //例如 :
7. // t=6（0110） 此時 k=1
8. //-t=-6=(1001+1)=(1010)
9. // t&(-t)=(0010)=2=2^1

C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i];

C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+......A[i];

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區間查詢

ok 下面利用C[i]陣列，求A陣列中前i項的和 

舉個例子 i=7;

sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7] ;   前i項和

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];   C[6]=A[5]+A[6];   C[7]=A[7];

可以推出:   sum[7]=C[4]+C[6]+C[7];

序號寫為二進位制: sum[(111)]=C[(100)]+C[(110)]+C[(111)];

再舉個例子 i=5

sum[5]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5] ;   前i項和

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];   C[5]=A[5];

可以推出:   sum[5]=C[4]+C[5];

序號寫為二進位制: sum[(101)]=C[(100)]+C[(101)];

細細觀察二進位制 樹狀陣列追其根本就是二進位制的應用

結合程式碼

1. int getsum(int x)
2. {
3. int ans=0;
4. for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
5. ans+=C[i];
6. return ans；
7. }

對於i=7 進行演示 

                                  7(111)          ans+=C[7]

lowbit(7)=001  7-lowbit(7)=6(110)    ans+=C[6]

lowbit(6)=010  6-lowbit(6)=4(100)    ans+=C[4]

lowbit(4)=100  4-lowbit(4)=0(000)    

對於i=5 進行演示 

                                  5(101)           ans+=C[5]

lowbit(5)=001  5-lowbit(5)=4(100)    ans+=C[4]

lowbit(4)=100  4-lowbit(4)=0(000)   

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單點更新

當我們修改A[]陣列中的某一個值時  應當如何更新C[]陣列呢？

回想一下 區間查詢的過程，再看一下上文中列出的圖

結合程式碼分析

1. void add(int x,int y)
2. {
3. for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
4. tree[i]+=y;
5. }
6. //可以發現 更新過程是查詢過程的逆過程
7. //由葉子結點向上更新C[]陣列

如圖： 

當更新A[1]時  需要向上更新C[1] ,C[2],C[4],C[8]

                     C[1],   C[2],    C[4],     C[8]

寫為二進位制  C[(001)],C[(010)],C[(100)],C[(1000)]

                                      1(001)        C[1]+=A[1]

lowbit(1)=001 1+lowbit(1)=2(010)     C[2]+=A[1]

lowbit(2)=010 2+lowbit(2)=4(100)     C[4]+=A[1]

lowbit(4)=100 4+lowbit(4)=8(1000)   C[8]+=A[1]

相關題目：

http://poj.org/problem?id=2299   

http://codeforces.com/contest/703/problem/D   

http://acm.zcmu.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?cid=1270&pid=3