Min-Max容斥學習筆記

阿新 • • 發佈：2018-11-05

形式：

m a x S = \sum_{T \in S} (- 1)^{| T | + 1} m i n T

$maxS=\sum_{T\in{S}}(-1)^{|T|+1}minT$

意思是：集合 $S$ 中的最大值，等於它所有子集的最小值乘上子集的大小加一的和。
多應用在概率，期望等題目上，有時候也用來求一些很難求的最大值。

證明：

不妨將集合從小到大排序。那麼： $\forall i < j$ $a_i <= a_j$ 。
考慮一個數被列舉的次數，就可以將容斥結果寫成：

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} \sum_{j = 0}^{n - i} (- 1)^{j} C_{n - i}^{j}

$\sum_{i=1}^n a_i\sum_{j=0}^{n-i}(-1)^{j}C_{n-i}^j$

= \sum_{i = 1}^{n} a_{i} [n - i = 0]

$=\sum_{i=1}^na_i[n-i=0]$

= a_{n} = m a x S

$=a_n=maxS$
證畢。

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