[Usaco2012 Open]Balanced Cow Subsets

題目描述

給出\(N（1≤N≤20）\)個數\(M(i) (1 <= M(i) <= 100,000,000)\)，在其中選若干個數，如果這幾個數可以分成兩個和相等的集合，那麼方案數加\(1\)。

求有多少種選數的方案。

輸入輸出格式

輸入格式：

* Line 1: The integer $ N$.

* Lines 2..1+N: Line i+1 contains \(M(i)\).

輸出格式：

* Line 1: The number of balanced subsets of cows.

輸入輸出樣例

輸入樣例#1：

4 
1 
2 
3 
4 

輸出樣例#1：

3 

題解

這道題算是一個折半搜尋(meet in the middle)的好題

如果對摺半搜尋不太熟悉，可以先做一道較簡單的題 [CEOI2015 Day2]世界冰球錦標賽

BZOJ連結或洛谷連結 附加my blog

這道題有三種狀態

1. 不放入任何集合
2. 放入左邊集合
3. 放入右邊集合

在搜尋時如何表示呢，我們可以0,1,-1來表示，程式碼如下：

dfs(dep+1,sum);
dfs(dep+1,sum+v[dep]);
dfs(dep+1,sum-v[dep]);

但是我們得到的答案可能會有重複，所以我們需要判重。

如何去判重，狀態壓縮，壓成2進位制去判重。

所以搜尋時還要去記錄狀態，用一個\(vis\)陣列判重。

if(!vis[a[l].state|b[r].state])
    vis[a[l].state|b[r].state]=1;//state記錄二進位制的選數狀態  1表示選 0表示沒選

最後要統計答案，排序後雙指標掃描一遍即可。

注意，最後別忘了把0的那種方案減去。

code：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#define ll long long
#define R register
#define N 22
using namespace std;
template<typename T>inline void read(T &a){
    char c=getchar();T x=0,f=1;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
    a=f*x;
}
int n,v[N<<1],maxdep,cnta,cntb;
bool vis[1<<N];
ll ans;
struct node{
    int state,x;
}a[1<<N],b[1<<N];
inline bool cmp1(R node a,R node b){
    return a.x<b.x;
}
inline bool cmp2(R node a,R node b){
    return a.x>b.x;
}
inline void dfs(R int dep,R int sum,R int now,R int flg){
    if(dep==maxdep+1){
        if(!flg){
            a[++cnta].x=sum;
            a[cnta].state=now;
        }
        else{
            b[++cntb].x=sum;
            b[cntb].state=now;
        }
        return;
    }
    dfs(dep+1,sum,now,flg);
    dfs(dep+1,sum+v[dep],now+(1<<(dep-1)),flg);
    dfs(dep+1,sum-v[dep],now+(1<<(dep-1)),flg);
}
int main(){
    read(n);
    for(R int i=1;i<=n;i++)read(v[i]);
    maxdep=n/2;dfs(1,0,0,0);
    maxdep=n;dfs(n/2+1,0,0,1);
    sort(a+1,a+1+cnta,cmp1);
    sort(b+1,b+1+cntb,cmp2);
    R int l=1,r=1;
    while(l<=cnta&&r<=cntb){
        while(-a[l].x<b[r].x&&r<=cntb)r++;
        R int pos=r;
        while(r<=cntb&&-a[l].x==b[r].x){
            if(!vis[a[l].state|b[r].state]){
                vis[a[l].state|b[r].state]=1;
                ans++;
            }
            r++;
        }
        if(l<cnta&&a[l].x==a[l+1].x)r=pos;
        l++;
    }
    printf("%lld\n",ans-1);
    return 0;
}