• 一、數學預備知識
• 1. 傅立葉級數
• 二、基本概念
• 1. 頻率域
• 2. 複數
• 3. 尤拉公式
• 4. 傅立葉級數
• 5. 取樣
• 三、傅立葉變換
• 1. 一維連續傅立葉變換
• 2. 一維離散傅立葉變換
• 3. 二維連續傅立葉變換
• 4. 二維離散傅立葉變換
• 四、卷積
• 1. 定義
• 2. 一維卷積定理
• 3. 二維卷積定理
• 五、傅立葉譜和相角
• 六、頻率域的其他特性

一、數學預備知識

1. 傅立葉級數

設 $f\left(x\right)$

f(x) 以 $2\pi$ 為週期，在 $[-\pi$

, π ] [-\pi, \pi] 絕對可積，則由公式
$a_n = {1\over\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\ dx,\ \ \ \ n=0,1,2,...$ $b_n = {1\over\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\ dx,\ \ \ \ n=1,2,...$決定的 $a_n$、 $b_n$ 稱為傅立葉係數，稱由這些 $a_n$、 $b_n$ 決定的三角級數
$f(x) ～ {a_0\over 2} + \sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx + b_n\sin nx)$為 $f(x)$ 的傅立葉級數。
例1  設 $f(x)$ 以 $2\pi$ 為週期，在 $[-\pi, \pi]$ 上 $f(x) = x$，試求 $f(x)$ 的傅立葉級數。
$解：f(x)$的影象如下圖所示

由 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 是奇函式，知 $f(x)\cos nx$ 在 $[-\pi, \pi]$ 也是奇函式，因而 $a_n = 0$。
$b_0 = {1\over\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin nx\ dx = {2\over \pi}\int_0^\pi x\sin nx\ dx$ $= {2\over{n\pi}}[-x\cos nx |_0^\pi + \int_0^\pi \cos nx\ dx] = {{(-1)^{n-1}2}\over n}$故傅立葉級數為
$f(x) ～ 2\sum_{n=1}^\infty{{(-1)^{n-1}\sin nx}\over n} = 2(\sin x - {{\sin 2x}\over 2} + {{\sin 3x}\over 3} - {{\sin 4x}\over 4} + \dots)$