c-3:位運算:位運算基本用法
基本操作
1.與運算（AND）：0 AND 0 = 0 （全為1才得1）
1 AND 0 = 0
0 AND 1 = 0
1 AND 1 = 1
用途：用來位置0，若想把FFH（11111111B,255D）第三、五（從右往左）位置0，只需 AND 11101011B(235D,E8H).
2.或運算（OR）： 0 OR 0 = 0 （只要有一個1就得1）
1 OR 0 = 1
0 OR 1 = 1
1 OR 1 = 1
用途：用來位置1，若想把9EH（10011110B,158D）第二、三、四（從右往左）位置1，只需
OR 00001110B(14D,EH).
3.取反運算（NOT）: NOT 1 = 0
NOT 0 = 1
用途：用來整體取反，不能位取反。
4. 異或運算（XOR）： 0 XOR 0 = 0 (不同為1，相同為0)
1 XOR 0 = 1
0 XOR 1 = 1
1 XOR 1 = 0
用途：用來位取反，若想把9EH（10011110B,158D）第二、三、四（從右往左）位取反，只需
XOR 00001110B(14D,EH).
附：異或的特殊性：
若 A XOR B = C,則 A XOR C = B,B XOR C = A.
擴充套件成 A XOR B XOR C = D,結論同樣成立//PS：我還沒證明
位運算是指按二進位制進行的運算。在系統軟體中，常常需要處理二進位制位的問題。C語言提供了6個位操作
運算子。這些運算子只能用於整型運算元，即只能用於帶符號或無符號的char,short,int與long型別。
C語言提供的位運算子列表：
運算子 含義 描述
& 按位與 如果兩個相應的二進位制位都為1，則該位的結果值為1，否則為0
| 按位或 兩個相應的二進位制位中只要有一個為1，該位的結果值為1
^ 按位異或 若參加運算的兩個二進位制位值相同則為0，否則為1
~ 取反 ~是一元運算子，用來對一個二進位制數按位取反，即將0變1，將1變0
<< 左移 用來將一個數的各二進位制位全部左移N位，右補0
>> 右移 將一個數的各二進位制位右移N位，移到右端的低位被捨棄，對於無符號數，高位補0
1、“按位與”運算子（&）
按位與是指：參加運算的兩個資料，按二進位制位進行“與”運算。如果兩個相應的二進位制位都為１，
則該位的結果值為1；否則為0。這裡的1可以理解為邏輯中的true,0可以理解為邏輯中的false。按位與其
實與邏輯上“與”的運算規則一致。邏輯上的“與”，要求運算數全真，結果才為真。若，
A=true,B=true,則A∩B=true 例如：3&5 3的二進位制編碼是11(2)。（為了區分十進位制和其他進位制，本文規
定，凡是非十進位制的資料均在資料後面加上括號，括號中註明其進位制，二進位制則標記為2）記憶體儲存資料
的基本單位是位元組（Byte），一個位元組由8個位（bit)所組成。位是用以描述電腦資料量的最小單位。二
進位制系統中，每個0或1就是一個位。將11（2）補足成一個位元組，則是00000011（2）。5的二進位制編碼是
101（2），將其補足成一個位元組，則是00000101（2）
按位與運算：
00000011(2)
& 00000101(2)
00000001(2)
由此可知3&5=1
c語言程式碼：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=3;
int b = 5;
printf("%d",a&b);
}
按位與的用途：
（1）清零
若想對一個儲存單元清零，即使其全部二進位制位為0，只要找一個二進位制數，其中各個位符合一下條件：
原來的數中為1的位，新數中相應位為0。然後使二者進行&運算，即可達到清零目的。
例：原數為43，即00101011（2），另找一個數，設它為148，即10010100（2），將兩者按位與運算：
00101011（2）
& 10010100（2）
00000000（2）
c語言原始碼：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=43;
int b = 148;
printf("%d",a&b);
}
（2）取一個數中某些指定位
若有一個整數a(2byte),想要取其中的低位元組，只需要將a與8個1按位與即可。
a 00101100 10101100
b 00000000 11111111
c 00000000 10101100
（3）保留指定位：
與一個數進行“按位與”運算，此數在該位取1.
例如：有一數84，即01010100（2），想把其中從左邊算起的第3，4，5，7，8位保留下來，運算如下：
01010100(2)
& 00111011(2)
00010000(2)
即：a=84,b=59
c=a&b=16
c語言原始碼：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=84;
int b = 59;
printf("%d",a&b);
}
2、“按位或”運算子（|）
兩個相應的二進位制位中只要有一個為1，該位的結果值為1。借用邏輯學中或運算的話來說就是，一真為真
。
例如：60（8）|17（8）,將八進位制60與八進位制17進行按位或運算。
00110000
|00001111
00111111
c語言原始碼：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=060;
int b = 017;
printf("%d",a|b);
}
應用：按位或運算常用來對一個數據的某些位定值為1。例如：如果想使一個數a的低4位改為1，則只需要
將a與17（8）進行按位或運算即可。
3、“異或”運算子（^）
他的規則是：若參加運算的兩個二進位制位值相同則為0，否則為1
即0∧0=0，0∧1=1，1∧0=1， 1∧1=0
例： 00111001
∧ 00101010
00010011
c語言原始碼：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=071;
int b = 052;
printf("%d",a^b);
}
應用：
（1）使特定位翻轉
設有數01111010（2），想使其低4位翻轉，即1變0，0變1.可以將其與00001111（2）進行“異或”運算，
即：
01111010
^00001111
01110101
運算結果的低４位正好是原數低４位的翻轉。可見，要使哪幾位翻轉就將與其進行∧運算的該幾位置為１
即可。
(２)與0相“異或”，保留原值
例如：012^00=012
00001010
^00000000
00001010
因為原數中的1與0進行異或運算得1，0^0得0，故保留原數。
(３) 交換兩個值，不用臨時變數
例如：ａ＝３，即11（2）；ｂ＝４，即100（2）。
想將ａ和ｂ的值互換，可以用以下賦值語句實現：
ａ＝a∧b;
ｂ＝b∧a;
ａ＝a∧b;
ａ＝011(2)
（∧）ｂ＝100(2)
ａ＝111(2)（a∧b的結果，a已變成７）
（∧）ｂ＝100(2)
ｂ＝011(2)（b∧a的結果，b已變成３）
（∧）ａ＝111(2)
ａ＝100（2）（a∧b的結果，a已變成４）
等效於以下兩步：
① 執行前兩個賦值語句：“ａ＝ａ∧ｂ；”和“ｂ＝ｂ∧ａ；”相當於b=b∧(a∧b)。
② 再執行第三個賦值語句： ａ＝ａ∧ｂ。由於a的值等於（ａ∧ｂ），b的值等於（ｂ∧ａ∧ｂ），
因此，相當於a=ａ∧ｂ∧ｂ∧ａ∧ｂ，即a的值等於ａ∧ａ∧ｂ∧ｂ∧ｂ，等於ｂ。
很神奇吧！
c語言原始碼：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=3;
int b = 4;
a=a^b;
b=b^a;
a=a^b;
printf("a=%d b=%d",a,b);
}
4、“取反”運算子（~）
他是一元運算子，用於求整數的二進位制反碼，即分別將運算元各二進位制位上的1變為0，0變為1。
例如：~77(8)
原始碼：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=077;
printf("%d",~a);
}
5、左移運算子（<<）
左移運算子是用來將一個數的各二進位制位左移若干位，移動的位數由右運算元指定（右運算元必須是非負
值），其右邊空出的位用0填補，高位左移溢位則捨棄該高位。
例如：將a的二進位制數左移2位，右邊空出的位補0，左邊溢位的位捨棄。若a=15,即00001111（2），左移2
位得00111100（2）。
原始碼：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=15;
printf("%d",a<<2);
}
左移1位相當於該數乘以2，左移2位相當於該數乘以2*2＝4,15＜＜2=60，即乘了４。但此結論只適用於該
數左移時被溢位捨棄的高位中不包含1的情況。
假設以一個位元組（８位）存一個整數，若ａ為無符號整型變數，則ａ＝64時，左移一位時溢位的是0
，而左移2位時，溢位的高位中包含1。
6、右移運算子（>>）
右移運算子是用來將一個數的各二進位制位右移若干位，移動的位數由右運算元指定（右運算元必須是非負
值），移到右端的低位被捨棄，對於無符號數，高位補0。對於有符號數，某些機器將對左邊空出的部分
用符號位填補（即“算術移位”），而另一些機器則對左邊空出的部分用0填補（即“邏輯移位”）。注
意：對無符號數,右移時左邊高位移入0；對於有符號的值,如果原來符號位為0(該數為正),則左邊也是移
入0。如果符號位原來為1(即負數),則左邊移入0還是1,要取決於所用的計算機系統。有的系統移入0,有的
系統移入1。移入0的稱為“邏輯移位”,即簡單移位；移入1的稱為“算術移位”。
例： a的值是八進位制數113755：
a:1001011111101101 （用二進位制形式表示）
a>>1: 0100101111110110 (邏輯右移時)
a>>1: 1100101111110110 (算術右移時)
在有些系統中,a>>1得八進位制數045766,而在另一些系統上可能得到的是145766。Turbo C和其他一些C
編譯採用的是算術右移,即對有符號數右移時,如果符號位原來為1，左面移入高位的是1。
原始碼：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=0113755;
printf("%d",a>>1);
}
7、位運算賦值運算子
位運算子與賦值運算子可以組成複合賦值運算子。
例如: &=, |=, >>=, <<=, ∧=
例： a & = b相當於 a = a & b
a << =2相當於a = a << 2
位運算加速技巧
1. 如果乘上一個2的倍數數值，可以改用左移運算(Left Shift) 加速 300%
x = x * 2;
x = x * 64;
//改為:
x = x << 1; // 2 = 21
x = x << 6; // 64 = 26
2. 如果除上一個 2 的倍數數值，可以改用右移運算加速 350%
x = x / 2;
x = x / 64;
//改為:
x = x >> 1;// 2 = 21
x = x >> 6;// 64 = 26
3. 數值轉整數加速 10%
x = int(1.232)
//改為:
x = 1.232 >> 0;
4. 交換兩個數值(swap)，使用 XOR 可以加速20%
var t:int = a;
a = b;
b = t;
//equals:
a = a^b;
b = a^b;
a = a^b;
5. 正負號轉換，可以加入 300%
i = -i;
//改為
i = ~i + 1; // NOT 寫法
//或
i = (i ^ -1) + 1; // XOR 寫法
6. 取餘數，如果除數為 2 的倍數，可利用 AND 運算加速 600%
x = 131 % 4;
//equals:
x = 131 & (4 - 1);
7. 利用 AND 運算檢查整數是否為 2 的倍數，可以加速 600%
isEven = (i % 2) == 0;
//equals:
isEven = (i & 1) == 0;
8. 加速 Math.abs 600% 的寫法1，寫法2 又比寫法1加速 20%
//寫法1
i = x < 0 ? -x : x;
//寫法2
i = (x ^ (x >> 31)) - (x >> 31);
//寫法3
i=x^(~(x>>31)+1)+(x>>31);
9. 比較兩數值相乘之後是否擁有相同的符號，加速 35%
eqSign = a * b > 0;
//equals:
eqSign = a ^ b > 0;
這裡5、6、8、9自己都想不出來咋證明。//先放在這裡
給集合裡的元素一個順序，那麼就可以用整數表示集合，某一位為1表示對應元素被選取。
設x為表示集合的整數，那麼這個整數有如下性質：
x的子集整數y在數值上不會比x大。因為x的子集y只是保留了x某些位置上的1，所以y總可以加上一個非負的整數z等於x，相當於把沒選的1補上。
根據這個性質可知，可以通過列舉所有比x小的數p並判斷，p是否只含x對應位上的1，如果是則p是x的子集，否則不是。這樣時間複雜度是嚴格的x。有沒有更快的呢，有的。
上訴列舉p是通過減一操作，並且我們知道減一操作一定是正確的，那麼在列舉的時候如何快速的去掉多餘的狀態，答案就是和x進行&（與）運算。與運算可以快速跳到下一個子
集。
&運算本質就是保留p在x對應位為1的數值，而根據二進位制減法可知減一操作都是把p最低位的1消去，在那一位後全補上1，如果在x對應位為0的地方產生了1其實是無效的，
後續的減一操作也會把它消掉，所以直接&運算可以快速去掉多餘的狀態。時間複雜度是x的子集數。
-
for(int i=x;i;){ -
i=(i-1)&x; -
}
①判斷n是否是2的整次冪 link
-
bool fun(int n){ -
return (!(n & (n-1))) && n; -
}
lowbit(x)是x的二進位制表示式中最低位的1所對應的值。
比如，6的二進位制是110，所以lowbit(6)=2。
-
int lowbit(int x){ -
return x&(-x); -
}
去除某個數的某一位
-
bool get_bit(int t,int x) { -
// 在 t 中，取出第 x 位 --從零開始 -
return t & (1<<(x)); -
}
改位
-
#define set_bit(x,ith,bool) ((bool)?((x)|(1<<(ith))):((x)&(~(1<<(ith))))); -
//從零開始 -
// 設定 x 的從第 ith 位起連續 k 位 為bol -
int mset(int x,int ith,int k,int bol) -
{ -
while(k --)x = set_bit(x,ith+k,bol); -
return x; -
}
gcc編譯器的內建函式，__builtin_popcount(x)
直接統計整數x轉換成2進制中有多少1。
bitset
什麼是bitset
bitset 是STL庫中的二進位制容器，根據C++ reference 的說法，bitset可以看作bool陣列，但優化了空間複雜度和時間複雜度，並且可以像整形一樣按位與或。
使用方法
申明
bitset的申明要指明長度
| 1 |
|
這樣就申明瞭一個長度為length的名叫bi的bitset
賦值
bitset過載了[]運算子，故可以像bool陣列那樣賦值
bi[2] = 1;
這樣就能將第二位賦值為1
常用函式
b1 = b2 & b3;//按位與 b1 = b2 | b3;//按位或 b1 = b2 ^ b3;//按位異或 b1 = ~b2;//按位補 b1 = b2 << 3;//移位
int one = b1.count();//統計1的個數
優化作用
常常碰到處理的陣列只有0和1的變化，此時就可以使用bitset優化。比如求兩個集合的交集可以使用按位與運算，求並集可以使用按位或運算
常用的成員函式：
b.any() b中是否存在置為1的二進位制位？
b.none() b中不存在置為1的二進位制位嗎？
b.count() b中置為1的二進位制位的個數
b.size() b中二進位制位數的個數
b[pos] 訪問b中在pos處二進位制位
b.test(pos) b中在pos處的二進位制位置為1麼？
b.set() 把b中所有二進位制位都置為1
b.set(pos) 把b中在pos處的二進位制位置為1
b.reset( ) 把b中所有二進位制位都置為0
b.reset( pos ) 把b中在pos處的二進位制位置置為0
b.flip( ) 把b中所有二進位制位逐位取反
b.flip( pos ) 把b中在pos處的二進位制位取反
b.to_ulong( ) 把b中同樣的二進位制位返回一個unsigned
//to_ulong()沒有看懂，目前到此為止，需要先學習別的內容，這裡放下等待看和學習的部落格