桶排序、計數排序和基數排序這三種演算法的時間複雜度都為 $O(n)$，因此，它們也被叫作線性排序（Linear Sort）。之所以能做到線性，是因為這三個演算法是非基於比較的排序演算法，都不涉及元素之間的比較操作。

1. 桶排序（Bucket Sort）？

1.1. 桶排序原理

• 桶排序，顧名思義，要用到“桶”。核心思想是將要排序的資料分到幾個有序的桶裡，每個桶的資料再單獨進行排序。桶內排完序後，再把每個桶裡的資料按照順序依次取出，組成的序列就是有序的了。

1.2. 桶排序的時間複雜度分析

• 如果要排序的資料有 $n$ 個，我們把它們均勻地劃分到 $m$ 個桶內，每個桶內就有 $k = \frac{n}{m}$ 個元素。對每個桶內的資料進行快速排序，時間複雜度為 $O(klogk)$。$m$ 個桶排序時間複雜度就為 $O(m * klogk) = O(n * log\frac{n}{m})$。當桶的個數接近資料個數時，$O(log\frac{n}{m})$ 就是一個非常小的數，這個時候通排序的時間複雜度接近於 $O(n)$。

1.3. 桶排序的適用條件

桶排序看起來很優秀，但事實上，桶排序對排序資料的要求是非常苛刻的。

• 首先，要排序的資料需要很容易就能劃分為 $m$ 個桶，並且桶與桶之間有著天然的大小順序。
• 其次，資料在各個桶之間的分佈是比較均勻的。
• 桶排序比較適合用在外部排序中。所謂的外部排序就是資料儲存在外部磁碟中，資料比較大而記憶體有限，無法將資料全部載入到記憶體中去。

1.4. 一個桶排序的例項

假如我們有 10 GB 的訂單資料需要按照金額進行排序，但記憶體只有幾百 MB ，這時候該怎麼辦呢？

• 我們先掃描一遍檔案，確定訂單金額的資料範圍。

• 如果掃描後發現訂單金額處於 1 萬元到 10 萬元之間，我們將所有訂單按照金額劃分到 100 個桶內，第一個桶資料範圍為[1, 1000]，第二個桶資料範圍為[1001, 2000]......，每個桶對應一個檔案，同時將檔案按照金額範圍的大小順序編號命名（如00、01、02...99）。

• 如果訂單金額分佈均勻，則每個檔案包含大約 100 MB 的資料，我們可以將每個小檔案讀入到記憶體中，進行快速排序。然後，再按順序從各個小檔案讀取資料，寫入到另外一個檔案，即是排序好的資料了。

• 如果訂單分佈不均，某一範圍內資料特別多無法一次讀入記憶體，則可以繼續對此區間再進行劃分，直到所有的檔案都可以讀入記憶體為止。

2. 計數排序（Counting Sort）？

2.1. 計數排序演算法實現

• 計數排序可以看作是桶排序的一種特殊情況。當要排序的資料所處的範圍並不大時，比如最大值為 $K$，這時候，我們可以把資料分為 $K$ 個桶，每個桶內的資料都是相同的，省掉了桶內排序的時間。

• 假設高考分數的範圍為 [0, 750]，我們可以將考生的分數劃分到 751 個桶內，然後再依次從桶內取出資料，就可以實現對考生成績的排序了。因為只涉及到掃描遍歷操作，因此時間複雜度為 $O(n)$。

但這個排序演算法為什麼叫計數排序呢，這是由計數排序演算法的實現方法來決定的，我們來看一個簡單的例子。

• 假設有 8 個考生，他們的分數範圍為 [0, 5]。這 8 個考生的成績我們放在一個數組中，A[8] = {2, 5, 3, 0, 2, 3, 0, 3}。

• 我們用大小為 6 的陣列代表 6 個桶來統計考生的成績分佈情況，其中下標表示考生的分數，陣列內的值表示這個分數的考生個數。我們遍歷一遍陣列後，就可以得到 C[6] = {2, 0, 2, 3, 0, 1,}，得 0 分的共有 2 人，得 3 分的共有 3 人。

• 如下所示，成績為 3 的考生共有 3 個，小於 3 分的考生共有 4 個，所以在排好序的資料 R[8] 中，3 的位置應該為 4，5 和 6 。

• 而我們怎麼得到這個位置呢？只需要對 C[6] 陣列按順序累計求和即可，這時候，C[6] 陣列中的每個值就都表示小於等於它的值的個數了。

• 接下來，我們從後到前依次掃描陣列 A[8]。當掃描到 3 時，我們取出 C[3] 的值 7，說明小於等於 3 的個數為 7 個，那麼 3 就應該放在陣列 R[8] 的第 7 個位置，也就是下標為 6 的地方。當我們再次遇到 3 的時候，這時候小於等於 3 的元素個數就少了一個，也就是我們要把 C[3] 相應地減去 1 。

• 之所以要從後到前依次掃描陣列，是因為這樣之前相同的元素就仍然會保持相同的順序，可以保證排序演算法的穩定性。

• 當我們掃描完整個陣列 A[8] 時，陣列 R[8] 中的資料也就從小到大排好序了，其詳細過程可參考下圖。

• 程式碼實現

// 假設陣列中儲存的都是非負整數
void Counting_Sort(int data[], int n)
{
    if (n <= 1)
    {
        return;
    }

    // 尋找陣列的最大值
    int max = data[0];
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        if (data[i] > max)
        {
            max = data[i];
        }
    }

    // 定義一個計數陣列, 統計每個元素的個數
    int c[max+1] = {0};
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        c[data[i]]++;
    }

    // 對計數陣列累計求和
    for (int i = 1; i <= max; i++)
    {
        c[i] = c[i] + c[i-1];
    }

    // 臨時存放排好序的資料
    int r[n] = {0};
    // 倒序遍歷陣列，將元素放入正確的位置
    for (int i = n-1; i >= 0; i--)
    {
        r[c[data[i]] - 1] = data[i];
        c[data[i]]--;
    }

    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        data[i] = r[i];
    }

}

2.2. 計數排序的適用範圍

• 計數排序只適用於資料範圍不大的場景中，如果資料範圍 $K$ 比排序的資料 $n$ 大很多，就不適合用計數排序了。

• 計數排序能給非負整數排序，如果資料是其他型別的，需要將其在不改變相對大小的情況下，轉化為非負整數。比如資料有一位小數，我們需要將資料都乘以 10；資料範圍為 [-1000, 1000]，我們需要對每個資料加 1000。

3. 基數排序（Radix Sort）？

假設要對 10 萬個手機號碼進行排序，顯然桶排序和計數排序都不太適合，那怎樣才能做到時間複雜度為 $O(n)$ 呢?

1.1. 基數排序原理

• 手機號碼有這樣的規律，假設要比較兩個手機號碼 $a, b$ 的大小，如果在前面幾位中，$a$ 手機號碼已經比 $b$ 大了，那後面幾位就不用看了。

• 藉助穩定排序演算法，我們可以這麼實現。從手機號碼的最後一位開始，分別按照每一位的數字對手機號碼進行排序，依次往前進行，經過 11 次排序之後，手機號碼就都有序了。

• 下面是一個字串的排序例項，和手機號碼類似。

• 根據每一位的排序，我們可以用剛才的桶排序或者計數排序來實現，它們的時間複雜度可以做到 $O(n)$。如果排序的資料有 $K$ 位，則總的時間複雜度為 $O(K * n)$，當 $K$ 不大時，基數排序的時間複雜度就近似為 $O(n)$。

• 有時候，要排序的資料並不都是等長的，比如我們要對英文單詞進行排序。這時候，我們可以把所有單詞都補足到相同長度，位數不夠的在後面補 ’0‘，所有字母的 ASCII 碼都大於 ‘0’，因此不會影響原有的大小順序。

• 基數排序需要資料可以分割出獨立的位出來，而且位之間有遞進的關係。除此之外，每一位的資料範圍都不能太大，要可以用線性排序演算法來進行排序。

參考資料-極客時間專欄《資料結構與演算法之美》

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