區塊鏈教程區塊鏈信息安全3橢圓曲線加解密及簽名算法的技術原理一
橢圓曲線加解密及簽名算法的技術原理及其Go語言實現
橢圓曲線加密算法，即：Elliptic Curve Cryptography，簡稱ECC，是基於橢圓曲線數學理論實現的一種非對稱加密算法。
相比RSA，ECC優勢是可以使用更短的密鑰，來實現與RSA相當或更高的安全。
據研究，160位ECC加密安全性相當於1024位RSA加密，210位ECC加密安全性相當於2048位RSA加密。
橢圓曲線在密碼學中的使用，是1985年由Neal Koblitz和Victor Miller分別獨立提出的。
橢圓曲線
一般，橢圓曲線可以用如下二元三階方程表示：
y2 = x3 + ax + b，其中a、b為系數。
如果滿足條件4a3+27b2≠0，則可以基於E(a, b)定義一個群。
定義橢圓曲線的運算規則
橢圓曲線上的運算規則，由如下方式定義：
加法：過曲線上的兩點A、B畫一條直線，找到直線與橢圓曲線的交點，交點關於x軸對稱位置的點，定義為A+B，即為加法。
二倍運算：上述方法無法解釋A + A，即兩點重合的情況。
因此在這種情況下，將橢圓曲線在A點的切線，與橢圓曲線的交點，交點關於x軸對稱位置的點，定義為A + A，即2A，即為二倍運算。
A + A = 2A = B
正負取反：將A關於x軸對稱位置的點定義為-A，即橢圓曲線的正負取反運算。
無窮遠點：如果將A與-A相加，過A與-A的直線平行於y軸，可以認為直線與橢圓曲線相交於無窮遠點。
綜上，定義了A+B、2A運算，因此給定橢圓曲線的某一點G，可以求出2G、3G（即G + 2G）、4G......。
即：當給定G點時，已知x，求xG點並不困難。反之，已知xG點，求x則非常困難。
此即為橢圓曲線加密算法背後的數學原理。
有限域上的橢圓曲線運算
橢圓曲線要形成一條光滑的曲線，要求x,y取值均為實數，即實數域上的橢圓曲線。
但橢圓曲線加密算法，並非使用實數域，而是使用有限域。
按數論定義，有限域GF(p)指給定某個質數p，由0、1、2......p-1共p個元素組成的整數集合中定義的加減乘除運算。
假設橢圓曲線為y2 = x3 + x + 1，其在有限域GF(23)上時，寫作：
y2 ≡ x3 + x + 1 (mod 23)
此時，橢圓曲線不再是一條光滑曲線，而是一些不連續的點。
以點(1,7)為例，72 ≡ 13 + 1 + 1 ≡ 3 (mod 23)。如此還有如下點：
(0,1) (0,22)
(1,7) (1,16)
(3,10) (3,13)
(4,0)
(5,4) (5,19)
(6,4) (6,19)
(7,11) (7,12)
(9,7) (9,16)
(11,3) (11,20)
等等。
另外，如果P(x,y)為橢圓曲線上的點，則-P即(x,-y)也為橢圓曲線上的點。
如點P(0,1)，-P=(0,-1)=(0,22)也為橢圓曲線上的點。
計算xG
相關公式如下：
有限域GF(p)上的橢圓曲線y2 = x3 + ax + b，若P(Xp, Yp), Q(Xq, Yq)，且P≠-Q，則R(Xr,Yr) = P+Q 由如下規則確定：
- Xr = (λ2 - Xp - Xq) mod p
- Yr = (λ(Xp - Xr) - Yp) mod p
- 其中λ = (Yq - Yp)/(Xq - Xp) mod p（若P≠Q）, λ = (3Xp2 + a)/2Yp mod p（若P=Q）
因此，有限域GF(23)上的橢圓曲線y2 ≡ x3 + x + 1 (mod 23)，假設以(0,1)為G點，計算2G、3G、4G...xG等等，方法如下：
計算2G：
- λ = (3x02 + 1)/2x1 mod 23 = (1/2) mod 23 = 12
- Xr = (122 - 0 - 0) mod 23 = 6
- Yr = (12(0 - 6) - 1) mod 23 = 19
即2G為點(6,19)
計算3G：
3G = G + 2G，即(0,1) + (6,19)
- λ = (19 - 1)/(6 - 0) mod 23 = 3
- Xr = (32 - 0 - 6) mod 23 = 3
- Yr = (3(0 - 3) - 1) mod 23 = 13
即3G為點(3, 13)
同理計算4G、5G...xG
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