第八講 一階常係數線性ODE(續)
阿新 • • 發佈:2018-11-10
一,用直角座標法,去掉中虛數部分:
- 去掉虛數部分:
二,將直角座標法的解化成極座標法的解(方便觀察幅值和相位):
利用三角恆等式:,,作圖見視訊9:00~10:00
三,證明,:
- 向量法:
- 複數法:,方程兩邊去掉虛數即證。
- 視訊13:00~22:00
四,一階線性ODE的應用:
- ,k>0,應用:濃度—擴散模型
- 如圖
- 這是一個水池,內部體積是V,鹽水從左端流入右端流出,r表示鹽水流速。
- 問題:水池中的鹽含量隨時間變化的函式?
- 設水池中的鹽含量為x,時間為t,鹽含量是時間的函式x(t)
- 建立文字模型:鹽含量隨時間的變化率=鹽的流入速度-鹽的流出速度
- 鹽含量隨時間的變化率為
- 鹽的流入速度=鹽水流速r*鹽水流入的濃度(設鹽水流入的濃度為)
- 鹽的流出速度=鹽水流速r*鹽水流出的濃度(鹽水流出的濃度和水池濃度相同)
- 整理為數學模型:
- 化為一般形式:
- 方程左邊單位是量,而右邊單位是濃度
- 統一成濃度單位:設,則
- 原方程化為:
- 化為一般形式:,,k表示單位時間內流量佔體積的比例,K的單位:時間的導數
- 用積分因子法求解即可
- 如果鹽水流入的濃度是正弦函式時,水池裡的濃度會多大程度隨的變化而變化?
- 觀察極座標法的解可知:K越大(流速r越大或體積V越小),振幅越接近1,相位滯後越小
- ,k>0,應用:電路,放射性鏈衰變(略)
- 如圖
- R表示電阻,C表示電容,q表示電荷,j表示電流,表示電動勢
- 問題:迴路中的電荷隨時間變化的函式?
- 基爾霍夫定律:三個元件的電壓降之和為0
- 建立數學模型:,
- 化為一般形式:
五,如果k<0,以下術語將變得不適用(方程可以照常解):
暫態、穩態、輸入—響應