貌似機器學習最繞不過去的演算法，是梯度下降演算法。這裡專門捋一下。

1. 什麼是梯度

有知乎大神已經解釋的很不錯，這裡轉載並稍作修改，加上自己的看法。先給出連結，畢竟轉載要說明出處嘛。為什麼梯度反方向是函式值區域性下降最快的方向？

因為高等數學都忘光了，先從導數/偏倒數/方向導數，慢慢推出梯度吧。

1.1 導數

導數的幾何意義可能很多人都比較熟悉: 當函式定義域和取值都在實數域中的時候，導數可以表示函式曲線上的切線斜率。 除了切線的斜率，導數還表示函式在該點的變化率。

用圖可表示為

直白的來說，導數代表了在自變數變化趨於無窮小的時候，函式值的變化與自變數變化的比值代表了導數，幾何意義有該點的切線。物理意義有該時刻的（瞬時）變化率…

注意在一元函式中，只有一個自變數變動，也就是說只存在一個方向的變化率，這也就是為什麼一元函式沒有偏導數的原因。

1.2 偏導數

既然談到偏導數，那就至少涉及到兩個自變數，以兩個自變數為例，z=f(x,y) 。從導數到偏導數，也就是從曲線來到了曲面. 曲線上的一點，其切線只有一條。但是曲面的一點，切線有無數條。

而我們所說的偏導數就是指的是多元函式沿座標軸的變化率：
fx(x,y) $f_{}$

x ( x , y ) $f_{x} (x,y)$指的是函式在y方向不變，函式值沿著x軸方向的變化率
$f_{y} (x,y)$指的是函式在x方向不變，函式值沿著y軸方向的變化率

對應的影象形象表達如下：

可能到這裡，讀者就已經發現偏導數的侷限性了，原來我們學到的偏導數指的是多元函式沿座標軸的變化率，但是我們往往很多時候要考慮多元函式沿任意方向的變化率，那麼就引出了方向導數。

1.3 方向導數

假設你站在山坡上，想知道山坡的坡度（傾斜度）
山坡圖如下：

假設山坡表示為$z=f(x,y)$,你應該已經會做主要倆個方向的斜率：
y方向的斜率可以對y偏微分得到。同樣的，x方向的斜率也可以對x偏微分得到。

那麼我們可以使用這倆個偏微分來求出任何方向的斜率（類似於一個平面的所有向量可以用倆個基向量來表示一樣）

現在我們有這個需求，想求出u方向的斜率怎麼辦？假設$z=f(x,y)$為一個曲面，$p(x_{0} ,y_{0} )$為函式定義域中一個點，單位向量可表示為$u =cos\theta i+sin\theta j$，其中$\theta$是此向量與x軸正向夾角.單位向量u可以表示對任何方向導數的方向.如下圖：

那麼我們來考慮如何求出，曲面沿著$u$ 方向的斜率，可以類比於前面導數定義，得出如下：

設$f(x,y)$為一個二元函式，$u =cos\theta i+sin\theta j$為一個單位向量，如果下列的極限值存在

$\lim_{t \rightarrow 0}{\frac{f(x_{0}+tcos\theta ,y_{0}+tsin\theta )-f(x_{0},y_{0})}{t} }$

此方向導數記為$D_{u}f$

則稱這個極限值是$f$沿著$u$方向的方向導數，那麼隨著$\theta$ 的不同，我們可以求出任意方向的方向導數。這也表明了方向導數的用處，是為了給我們考慮函式對任意方向的變化率.

在求方向導數的時候，除了用上面的定義法求之外，我們還可以用偏微分來簡化我們的計算.

表示式是：

$D_{u}f(x,y)=f_{x}(x,y)cos\theta +f_{y}(x,y)sin\theta$

（至於為什麼成立，很多資料有，不是這裡討論的重點，其實很好理解，$\theta$為0，就是x軸方向，偏導數不就是$f_{x}(x,y)$ 嘛）

那麼一個平面上無數個方向，函式沿哪個方向變化率最大呢？

目前我不管梯度的事，我先把表示式寫出來：

$D_{u}f(x,y)=f_{x}(x,y)cos\theta +f_{y}(x,y)sin\theta$

設有這樣兩個向量：$A=(f_{x}(x,y) ,f_{y}(x,y)),I=(cos\theta ,sin\theta )$

那麼我們可以得到：

$D_{u}f(x,y)=A\bullet I=\left| A \right| *\left| I \right| cos\alpha$ (向量的點乘的基本公式。

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