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本系列文章使用的教材為《矩陣論》（第二版），楊明，劉先忠編，華中科技大學出版社。

為什麼引入子空間

線性空間Vn(F)中的V是一個集合，集合的子集會設計並交等運算關係，在討論這些關係的性質時，需要引入新的概念。

子空間定義

從定義，我們注意幾點：

• W是V的非空子集

• W對V空間定義的加法和數乘封閉

注：兩個平凡子空間：一個是V自身，還有一個是零元即w={0}。

判定W是V的子空間

• 證明W對V空間定義的加法和數乘封閉

兩個特殊的子空間——零空間與列空間

• 零空間:N(A)

• 列空間:R(A)

也就是說

1. 零空間是AX=0的解空間，要求N(A)只要求基礎解系

2. 列空間是A的值域，n個m維的列向量。

子空間的運算

• W1∩W2，W1∪W2，W1+W2

注意：

• 因為W1∩W2仍然是一個子空間，所以0∈W1∩W2，即W1∩W2≠Ф

• W1∪W2不是V的子空間。

維數公式

特殊情況：當dim(W1∩W2)={0}，因為dim({0})=0，所以dim(W1+W2)=dim(W1)+dim(W2)。

其實這種特殊情況就是直和子空間，下面我們來看一看定義。

此定義與和空間的定義是多了一個特殊條件dim(W1∩W2)={0}。

對於直和子空間有以下等價條件