【洛谷】4180：【模板】嚴格次小生成樹[BJWC2010]【鏈剖】【線段樹維護最大、嚴格次大值】
阿新 • • 發佈：2018-11-10
P4180 【模板】嚴格次小生成樹[BJWC2010]
題目描述
小C最近學了很多最小生成樹的演算法，Prim演算法、Kurskal演算法、消圈演算法等等。正當小C洋洋得意之時，小P又來潑小C冷水了。小P說，讓小C求出一個無向圖的次小生成樹，而且這個次小生成樹還得是嚴格次小的，也就是說：如果最小生成樹選擇的邊集是EM，嚴格次小生成樹選擇的邊集是ES，那麼需要滿足：(value(e)表示邊e的權值)$\sum_{e \in E_M}value(e)<\sum_{e \in E_S}value(e)$
這下小 C 蒙了，他找到了你，希望你幫他解決這個問題。
輸入輸出格式
輸入格式：
第一行包含兩個整數N 和M，表示無向圖的點數與邊數。 接下來 M行，每行 3個數x y z 表示，點 x 和點y之間有一條邊，邊的權值為z。
輸出格式：
包含一行，僅一個數，表示嚴格次小生成樹的邊權和。(資料保證必定存在嚴格次小生成樹)
輸入輸出樣例
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說明
資料中無向圖無自環； 50% 的資料N≤2 000 M≤3 000； 80% 的資料N≤50 000 M≤100 000； 100% 的資料N≤100 000 M≤300 000 ，邊權值非負且不超過 10^9 。
Solution
無所不能的鏈剖Orz！（就是太難調叻！！）
對於一條不在最小生成樹上的邊，如果要使它在次小生成樹上，那就是在這條邊的兩端點的鏈的所有邊中找一條刪掉，要使他最接近次小，那麼就是找鏈中最大的邊，這樣使增加的邊權最小。但是題目要求是嚴格次小 ，意味著如果最大邊權等於這條非樹邊邊權，那麼我們要找次大的邊權。
因此線段樹上再維護一個嚴格次大值就好了。
線段樹的值是點權下放到邊權。所以跳鏈查詢時最後要查詢的是$in[v]+1$到$in[u]$，防止把上面的邊計算進去。
Code
#include<bits/stdc++.h> #define LL long long using namespace std; struct Node { int u, v, nex, tag; LL w; Node(int u = 0, int v = 0, int nex = 0, LL w = 0) : u(u), v(v), nex(nex), w(w) { } } Edge[600005], a[300005]; bool cmp(Node a, Node b) { return a.w < b.w; } int h[100005], stot; void add(int u, int v, LL w) { Edge[++stot] = Node(u, v, h[u], w); h[u] = stot; } int n, m; int fa[100005], siz[100005], son[100005], dep[100005]; LL vson[100005]; void dfs1(int u, int f) { fa[u] = f; siz[u] = 1; dep[u] = dep[f] + 1; for(int i = h[u]; i; i = Edge[i].nex) { int v = Edge[i].v; if(v == f) continue; dfs1(v, u); siz[u] += siz[v]; if(siz[v] > siz[son[u]]) son[u] = v, vson[u] = Edge[i].w; } } int top[100005], in[100005], idc; LL seq[100005]; void dfs2(int u, int t, LL w) { top[u] = t; in[u] = ++idc; seq[idc] = w; if(son[u]) dfs2(son[u], t, vson[u]); for(int i = h[u]; i; i = Edge[i].nex) { int v = Edge[i].v; if(v == fa[u] || v == son[u]) continue; dfs2(v, v, Edge[i].w); } } struct QAQ { LL ma1, ma2; } TR[400005]; void update(int nd) { TR[nd].ma1 = max(TR[nd << 1].ma1, TR[nd << 1 | 1].ma1); TR[nd].ma2 = max(TR[nd].ma1 == TR[nd << 1].ma1 ? TR[nd << 1].ma2 : TR[nd << 1].ma1, TR[nd].ma1 == TR[nd << 1 | 1].ma1 ? TR[nd << 1 | 1].ma2 : TR[nd << 1 | 1].ma1); } void build(int nd, int l, int r) { if(l == r) { TR[nd].ma1 = seq[l]; TR[nd].ma2 = -1; return ; } int mid = (l + r) >> 1; build(nd << 1, l, mid); build(nd << 1 | 1, mid + 1, r); update(nd); } QAQ query(int nd, int l, int r, int L, int R) { if(l >= L && r <= R) return TR[nd]; int mid = (l + r) >> 1; QAQ ans, tmp, res; ans.ma1 = ans.ma2 = tmp.ma1 = tmp.ma2 = res.ma1 = res.ma2 = 0; if(L <= mid) { ans = query(nd << 1, l, mid, L, R); } if(R > mid) { tmp = query(nd << 1 | 1, mid + 1, r, L, R); } res.ma1 = max(ans.ma1, tmp.ma1); res.ma2 = max(ans.ma1 == res.ma1 ? ans.ma2 : ans.ma1, tmp.ma1 == res.ma1 ? tmp.ma2 : tmp.ma1); return res; } LL query(int u, int v, LL w) { LL ans = 0; while(top[u] != top[v]) { if(dep[top[u]] < dep[top[v]]) swap(u, v); QAQ tmp = query(1, 1, n, in[top[u]], in[u]); ans = max(tmp.ma1 == w ? tmp.ma2 : tmp.ma1, ans); u = fa[top[u]]; } if(u == v) return ans; if(dep[u] < dep[v]) swap(u, v); QAQ tmp = query(1, 1, n, in[v] + 1, in[u]); ans = max(ans, tmp.ma1 == w ? tmp.ma2 : tmp.ma1); return ans; } int f[100005]; int find(int x) { if(x != f[x]) return f[x] = find(f[x]); return f[x]; } LL tot; void Kruskal() { sort(a + 1, a + 1 + m, cmp); for(int i = 1; i <= n; i ++) f[i] = i; for(int i = 1; i <= m; i ++) { int u = a[i].u, v = a[i].v; LL w = a[i].w; int uu = find(u), vv = find(v); if(uu != vv) f[uu] = vv, a[i].tag = 1, tot += w; } } int main() { scanf("%d%d", &n, &m); for(int i = 1; i <= m; i ++) { int u, v; LL w; scanf("%d%d%lld", &u, &v, &w); a[i].u = u, a[i].v = v, a[i].w = w; } Kruskal(); for(int i = 1; i <= m; i ++) if(a[i].tag) { add(a[i].u, a[i].v, a[i].w); add(a[i].v, a[i].u, a[i].w); } dfs1(1, 0); dfs2(1, 0, 0); build(1, 1, n); LL ans = 0x3f3f3f3f; for(int i = 1; i <= m; i ++) { if(!a[i].tag) { int u = a[i].u, v = a[i].v; LL w = a[i].w; LL tmp = query(u, v, w); ans = min(ans, w - tmp); } } printf("%lld", tot + ans); return 0; }