1015：基礎排序演算法
目錄
總結：氣泡排序、插入排序和選擇排序
一、幾種經典排序演算法及其時間複雜度級別
冒泡、插入、選擇 O(n^2) 基於比較
快排、歸併 O(nlogn) 基於比較
計數、基數、桶 O(n) 不基於比較
二、如何分析一個排序演算法？
1.學習排序演算法的思路？
明確原理、掌握實現以及分析效能。
2.如何分析排序演算法效能？
從執行效率、記憶體消耗以及穩定性3個方面分析排序演算法的效能。
3.執行效率：
從以下3個方面來衡量
1）最好情況、最壞情況、平均情況時間複雜度
2）時間複雜度的係數、常數、低階：排序的資料量比較小時考慮
3）比較次數和交換（或移動）次數
4.記憶體消耗：通過空間複雜度來衡量。針對排序演算法的空間複雜度，引入原地排序的概念，原地排序演算法就是指空間複雜度為O(1)的排序演算法。
5.穩定性：如果待排序的序列中存在值等的元素，經過排序之後，相等元素之間原有的先後順序不變，就說明這個排序演算法時穩定的。
三、氣泡排序
1.排序原理
1）氣泡排序只會操作相鄰的兩個資料。
2）對相鄰兩個資料進行比較，看是否滿足大小關係要求，若不滿足讓它倆互換。
3）一次冒泡會讓至少一個元素移動到它應該在的位置，重複n次，就完成了n個數據的排序工作。
4）優化：若某次冒泡不存在資料交換，則說明已經達到完全有序，所以終止冒泡。
2.程式碼實現
/** * 氣泡排序 * @param a 待排序陣列 * @param n 陣列長度 */ public static void bubbleSort(int[] a, int n) { if(n<=0) return ; for (int i = 0; i < n; i++) { //標記一次冒泡是否存在資料交換，若存在，則改為true boolean tag = false; for (int j = 0; j < n-1-i; j++) { if(a[j] > a[j+1]){ int temp = a[j]; a[j] = a[j+1]; a[j+1] = temp; tag = true; } } //若本次冒泡操作未發生資料交換，則終止冒泡操作 if (tag == false) break; } }
3.效能分析
1）執行效率：最小時間複雜度、最大時間複雜度、平均時間複雜度
最小時間複雜度：資料完全有序時，只需進行一次冒泡操作即可，時間複雜度是O(n)。
最大時間複雜度：資料倒序排序時，需要n次冒泡操作，時間複雜度是O(n^2)。
平均時間複雜度：通過有序度和逆序度來分析。
什麼是有序度？
有序度是陣列中具有有序關係的元素對的個數，比如[2,4,3,1,5,6]這組資料的有序度就是11，分別是[2,4][2,3][2,5][2,6][4,5][4,6][3,5][3,6][1,5][1,6][5,6]。同理，對於一個倒序陣列，比如[6,5,4,3,2,1]，有序度是0；對於一個完全有序的陣列，比如[1,2,3,4,5,6]，有序度為n*(n-1)/2，也就是15，完全有序的情況稱為滿有序度。
什麼是逆序度？逆序度的定義正好和有序度相反。核心公式：逆序度=滿有序度-有序度。
排序過程，就是有序度增加，逆序度減少的過程，最後達到滿有序度，就說明排序完成了。
氣泡排序包含兩個操作原子，即比較和交換，每交換一次，有序度加1。不管演算法如何改進，交換的次數總是確定的，即逆序度。
對於包含n個數據的陣列進行氣泡排序，平均交換次數是多少呢？最壞的情況初始有序度為0，所以要進行n*(n-1)/2交換。最好情況下，初始狀態有序度是n*(n-1)/2，就不需要進行互動。我們可以取箇中間值n*(n-1)/4，來表示初始有序度既不是很高也不是很低的平均情況。
換句話說，平均情況下，需要n*(n-1)/4次交換操作，比較操作可定比交換操作多，而複雜度的上限是O(n^2)，所以平均情況時間複雜度就是O(n^2)。
以上的分析並不嚴格，但很實用，這就夠了。
2）空間複雜度：每次交換僅需1個臨時變數，故空間複雜度為O(1)，是原地排序演算法。
3）演算法穩定性：如果兩個值相等，就不會交換位置，故是穩定排序演算法。
四、插入排序
1.演算法原理
首先，我們將陣列中的資料分為2個區間，即已排序區間和未排序區間。初始已排序區間只有一個元素，就是陣列的第一個元素。插入演算法的核心思想就是取未排序區間中的元素，在已排序區間中找到合適的插入位置將其插入，並保證已排序區間中的元素一直有序。重複這個過程，直到未排序中元素為空，演算法結束。
2.程式碼實現
/**
* 插入排序
* @param a 待排序陣列
* @param n 表示陣列大小
*/
public static void insertSort(int[] a, int n) {
if(n<=1) return;
for(int i=1;i<n;i++){
int value=a[i];
int j=i-1;
//找到插入位置
for(;j>0;j--){
if(a[j]>value){
a[j+1]=a[j];//移動資料
} else {
break;
}
}
a[j+1]=value;//插入資料
}
}3.效能分析
1）時間複雜度：最好、最壞、平均情況
如果要排序的陣列已經是有序的，我們並不需要搬移任何資料。只需要遍歷一遍陣列即可，所以時間複雜度是O(n)。如果陣列是倒序的，每次插入都相當於在陣列的第一個位置插入新的資料，所以需要移動大量的資料，因此時間複雜度是O(n^2)。而在一個數組中插入一個元素的平均時間複雜都是O(n)，插入排序需要n次插入，所以平均時間複雜度是O(n^2)。
2）空間複雜度：從上面的程式碼可以看出，插入排序演算法的執行並不需要額外的儲存空間，所以空間複雜度是O(1)，是原地排序演算法。
3）演算法穩定性：在插入排序中，對於值相同的元素，我們可以選擇將後面出現的元素，插入到前面出現的元素的後面，這樣就保持原有的順序不變，所以是穩定的。
五、選擇排序
1.演算法原理
選擇排序演算法也分已排序區間和未排序區間。但是選擇排序每次會從未排序區間中找到最小的元素，並將其放置到已排序區間的末尾。
2.程式碼實現
/**
* 選擇排序
* @param a 待排序陣列
* @param n 陣列長度
*/
public static void selectSort(int[] a, int n) {
if(n<=0) return;
for(int i=0;i<n;i++){
int min=i;
for(int j=i;j<n;j++){
if(a[j] < a[min]) min=j;
}
if(min != i){
int temp=a[i];
a[i]=a[min];
a[min]=temp;
}
}
}3.效能分析
1）時間複雜度：最好、最壞、平均情況
選擇排序的最好、最壞、平均情況時間複雜度都是O(n^2)。為什麼？因為無論是否有序，每個迴圈都會完整執行，沒得商量。
2）空間複雜度：
選擇排序演算法空間複雜度是O(1)，是一種原地排序演算法。
3）演算法穩定性：
選擇排序演算法不是一種穩定排序演算法，比如[5,8,5,2,9]這個陣列，使用選擇排序演算法第一次找到的最小元素就是2，與第一個位置的元素5交換位置， 那第一個5和中間的5的順序就變數，所以就不穩定了。正因如此，相對於氣泡排序和插入排序，選擇排序就稍微遜色了。
六、思考
1.氣泡排序和插入排序的時間複雜度都是 O(n^2)，都是原地排序演算法，為什麼插入排序要比氣泡排序更受歡迎呢？
氣泡排序移動資料有3條賦值語句，而選擇排序的交換位置的只有1條賦值語句，因此在有序度相同的情況下，氣泡排序時間複雜度是選擇排序的3倍，所以，選擇排序效能更好。
2.如果資料儲存在連結串列中，這三種排序演算法還能工作嗎？如果能，那相應的時間、空間複雜度又是多少呢？