數據結構與算法分析-第1章

Table of Contents

• 1. 第1章-引論
  • 1.1. 數學知識復習
    • 1.1.1. 指數
    • 1.1.2. 對數
    • 1.1.3. 級數
    • 1.1.4. 模運算
    • 1.1.5. 證明方法
  • 1.2. 遞歸簡論
• 2. 練習題
  • 2.1. 1.5 證明下列公式:

1 第1章-引論

1.1 數學知識復習

1.1.1 指數

• \(X^AX^B=X^{A+B}\)
• \(\frac{X^A}{X^B}=X^{A-B}\)
• \((X^A)^B=X^{AB}\)
• \(X^N+X^N=2X^N \ne x^{2n}\)
• \(2^n+2^n=2^{n+1}\)

1.1.2 對數

• 在計算機科學中,除非有特別聲明,所有的對數都是以2為底的.
• 定義: \(x^a=b\) ,當且僅當 \(\log_xb=a\),得
  • \(log_AB=\frac{\log_cB}{\log_cA}\);\(c>0\)
  • \(\log{AB}=\log{A}+\log{B}\)
  • \(\log\frac{A}{B}=\log{A} - \log{B}\)
  • \(\log(A^B)=B\log{A}\)
  • \(\log{X}
  • \(\log1 = 0\),\(\log2=1\),\(\log1024=10\),\(\log1048576=20\).

1.1.3 級數

• \(\sum_{i=0}^N2^i=2^{N+1}-1\),等比數列求和公式
• \(\sum_{i=0}^NA^i=\frac{A^{N+1}-1}{A-1}\)
  • 如果 \(0
• 分析中另一種常用類型的級數是算術級數.任何這樣的級數都可以通過基本公式計算其值.
  • \(\sum_{i=1}^Ni=\frac{N(N+1)}{2}\approx\frac{N^2}{2}\)
• \(\sum_{i=1}^Ni^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\approx\frac{N^3}{3}\)
• \(\sum_{i=1}^Ni^k\approx\frac{N^{k+1}}{|k+1|}\), \(k \neq -1\)
• 調和數: \(H_N=\sum_{i=1}^N\frac{1}{i}\approx\log_eN\),其和叫做調和和.

1.1.4 模運算

• 如果N整除 \(A-B\), 那麽我們就說A與B模N同余(congrument),記為 \(A\equiv B(mod N)\).
  • \(81 \equiv 61 \equiv 1(mod 10)\)
• 如果\(A\equiv B(mod N)\), 則 \(A+C\equiv B+C(mod N)\) 以及\(AD\equiv BD(mod N)\)

1.1.5 證明方法

1. 歸納法進行證明有兩個標準部分
   • 第一步是證明基準情形(base case),就是確定定理對於某個(某些)小的(通常是退化)值的正確性.
   • 第二步是進行歸納假設.一般來說假設定理對某個有限數k的所有情況都成立,則定理對下一個值(通常是k+1)也從成立.
2. 反證法證明: 假設定理不成立,然後證明該假設倒置某個已知的性質不成立,從而說明原假設是錯誤的.

1.2 遞歸簡論

• 遞歸的兩個基本法則
  • 基本情形(base case)
  • 不斷推進(making process)
• 遞歸的四條基本原則
  • 基準情形
  • 不斷推進
  • 設計法則: 假設所有的遞歸調用都能運行.
  • 合成效益法(compound interest rule),在求解一個問題的同一個實例時,切勿在不同的遞歸調用中做重復性的工作.

2 練習題

2.1 1.5 證明下列公式:

1. \(\log{X} < X\) 對所有的 \(X>0\) 成立.

當 0<X ≤ 1 時, 因為X=1/2時, log1/2=-1<1. X=1時, log1=0<1. X為負數時, logX的值不存在.所以 0<X ≤ 1時, logX < X成立.
假設X=k時, logk < k 成立.
log(k+1) =

Date: 2018-11-10 22:30

Author: devinkin

Created: 2018-11-10 六 23:24

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