使用線性代數求解斐波那契數列第n項

阿新 • • 發佈：2018-11-11

一：問題

已知斐波那契數列，f1=1,f2=1,f3=3,f4=5...求第n項的數值

二：問題轉化為線性代數問題

可以得到方程

f（n+2）=f（n+1）+f（n）

為了解決問題，新增方程

f（n+1）=f（n+1）

記向量 $u_{n}=\begin{pmatrix} f_{n+1}\\ f_{n} \end{pmatrix}$ ，則上兩式可以寫作

$u_{n+1}=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1& 0 \end{bmatrix}u_{n}$

要求 $f_{n}$ ，只需知道 $u_{n}$ ，例如，要求n=100時的數值

$u_{100}=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1& 0 \end{bmatrix}^{99}u_{1}$

三：將矩陣相似對角化

可以得到矩陣的兩個特徵值為 $\lambda _{1}=(1+\sqrt{5})/2$ ， $\lambda _{2}=(1-\sqrt{5})/2$ ，對應的變化矩陣為A，則

$u_{100}=A^{-1}\begin{bmatrix} (1+\sqrt{5})/2& 0\\ 0 & (1-\sqrt{5})/2 \end{bmatrix}Au_{1}$

$u_{1}=\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}$ ，代入可得

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一：問題已知斐波那契數列，f1=1,f2=1,f3=3,f4=5...求第n項的數值二：問題轉化為線性代數問題可以得到方程 f（n+2）=f（n+1）+f（n）為了解決問題，新增方程 f（n+1）=f（n+1）記向量，則上兩式可以寫作要求，只需知道，

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